Garis Singgung Lingkaran Dengan Diskriminan

Hubungan antara garis dan lingkaran ada 3 macam

1. Berpotongan di dua titik =====>  D > 0

2. Bersinggungan   ==========>  D = 0

3. Tidak Berpotongan ========>  D < 0

dengan D = b2 – 4ac , disebut diskriminan

Pada bagian ini kita akan fokus membahas saat lingkaran dan garis saling bersinggungan, jadi D = 0

 

Contoh soal 1 :

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 =  80 yang bergradien 2.

Jawab :

Gradien biasa ditulis dengan m, berarti m = 2

Persamaan umum garis adalah y = mx + n maka y = 2x + n

Persamaan garis ini kita subtitusi ke lingkaran

x2 + y2 = 80

x2 + (2x + n)2 = 80

x2 + 4x2 + 4nx + n‑ = 80

5x2 + 4nx + n2 – 80 = 0

 

Syarat bersinggungan :

D = 0

b2 – 4ac = 0

(4n)2 – 4.5(n2 – 80) = 0

16n2 – 20n2 + 1600 = 0

– 4n2 + 1600 = 0

n2 – 400 = 0

(n + 20)(n – 20) = 0

n = – 20 atau n = 20

Jadi persamaan garis singgungnya

y = 2x – 20 atau y = 2x + 20

 

 

Contoh soal 2 :

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 98 yang membentuk sudut 45o dengan sumbu x positif

Jawab :

Jika sudut dengan sumbu x positif adalah 45o maka gradien bisa diperoleh dari

m = tan 45o = 1

Persamaan garis :

y = mx + n

y = x + n

Garis ini kita subtitusikan ke lingkaran

x2 + y2 = 98

x2 + (x + n)2 = 98

x2 + x2 + 2nx + n2 = 98

2x2 + 2nx + n2 – 98 = 0

 

Karena bersinggungan maka

D = 0

b2 – 4ac = 0

(2n)2 – 4.2.(n2 – 98) = 0

4n2 – 8n2 + 784 = 0

– 4n2 + 784 = 0

n2 – 196 = 0

(n + 14)(n – 14) = 0

n = –14 atau n = 14

Jadi persamaan garis singgungnya

y = x – 14 atau y = x + 14

 

Contoh soal 3 :

Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 90 yang sejajar dengan garis 6x – 2y = 5 adalah …

Jawab :

Dua garis akan sejajar jika gradiennya sama

Untuk mencari gradien garis 6x – 2y + 5 = 0 makagaris kita ubah menjadi

6x + 5 = 2y

y = (6x + 5)/2

y = 3x + 5/2

sehingga m = 3

Karena garis sinngung sejajar dengan garis ini maka gradien yang kita pakai di garis singgung adalah

m = 3

maka persamaan garisnya

y = 3x + n

Persamaan garis ini kita subtitusikan ke lingkaran

x2 + (3x + n)2 = 90

x2 + 9x2 +6nx + n2 – 90 = 0

10x2 + 6nx + n2 – 90 = 0

Karena bersinggungan maka

D = 0

b2 – 4ac = 0

(6n)2 – 4.10(n2 – 90) = 0

36n2 – 40n2 + 3600 = 0

– 4n2 + 3600 = 0

n2  – 900 = 0

(n + 30)(n – 30) = 0

n = – 30 atau n = 30

Jadi persamaan garisnya

y = 3x – 30 atau y = 3x + 30

 

 

Contoh soal 4 :

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 68 yang tegak lurus dengan x + 4y = 12

Jawab :

x + 4y = 12

4y = – x + 12

y = –¼ x + 3

maka m1 = – ¼

Karena saling tegak lurus berlaku

m1.m2 = –1

– ¼ .m2 = –1

m2 = 4

maka persamaan garis singgungya

y = 4x + n

Garis ini kita subtitusi ke lingkaran

x2 + y2 = 68

x2 + (4x + n)2 = 68

x2 + 16x2 + 8nx + n2 = 68

17x2 + 8nx + n2 – 68 = 0

Karena bersinggungan maka

D = 0

b2 – 4ac = 0

(8n)2 – 4.17(n2 – 68) = 0

64n2 – 68n2 + 4624 = 0

– 4n2 + 4624 = 0

n2 – 1156 = 0

(n + 34)(n – 34) = 0

n = – 34 atau n = 34

Jadi, persamaan garisnya

y = 4x – 34 atau y = 4x + 34

 

 

Contoh Soal 5 :

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 40 yang melalaui (0, 20)

Jawab :

Persamaan garis yang melalui (x1, y1) adalah

y – y1 = m(x – x1)

Persamaan garis yang melalui (0, 20) adalah

y – 20 = m(x – 0)

y = mx + 20

 

Selanjutnya garis ini kita subtitusikan ke lingkaran

x2 + y2 = 40

x2 + (mx + 20)2 = 40

x2 + m2x2 + 40mx + 400 = 40

(1 + m2)x2 + 40mx + 360 = 0

 

Karena bersinggungan maka

D = 0

b2 – 4ac = 0

(40m)2 – 4(1 + m2) . 360 = 0

1600m2 – 1440 – 1440m2 = 0

160m2 – 1440 = 0

m2 – 9 = 0

(m + 3)(m – 3) = 0

m = – 3 atau m = 3

Jadi, persamaan garisnya

y = – 3x + 20 atau y = 3x + 20

 

 

Contoh Soal 6 :

Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 10 yang ditarik dari titik (2, 4) adalah …

Jawab :

Persamaan garis yang melalui (2, 4) bisa ditulis

y – 4 = m(x – 2)

y – 4 = mx – 2m

y = mx – 2m + 4

 

Garis ini kita subtitusikan ke lingkaran

x2 + y2 = 10

x2 + (mx – 2m + 4)2 = 10

x2 + m2x2 + 4m2 + 16 – 4m2x + 8mx – 16m = 10

(1 + m2)x2 + (8m – 4m2)x + 4m2 – 16m + 6 = 0

 

Syarat bersinggungan adalah

D = 0

b2 – 4ac = 0

(8m – 4m2) – 4(1 + m2)(4m2 – 16m + 6) = 0

64m2 – 64m3 + 16m4 – 4(4m2 – 16m + 6 + 4m4 – 16m3 + 6m2) = 0

64m2 – 64m3 + 16m4 – 16m2 + 64m – 24 – 16m4 + 64m3 – 24m2 = 0

24m2 + 64m – 24 = 0

3m2 + 8m – 3 = 0

(m + 3)(3m – 1) = 0

m = –3  atau m = 1/3

 

Untuk m = –3

y = mx – 2m + 4

y = 3x + 6 + 4

3x – y + 10 = 0

 

Untuk m = 1/3

y = mx – 2m + 4

3y = 3mx – 6m + 12

3y = x – 2 + 12

x – 3y + 10 = 0

 

 

Contoh Soal 7 :

Persamaan garis singgung pada lingkaran (x – 3)2 + (y + 4)2 = 72 yang membentuk sudut 135o dengan sumbu x positif adalah …

 

Jawab :

m = tan 135o =  –1

y = mx + n

y = – x + n

Persamaan ini kita subtitusikan ke

(x – 3)2 + (y + 4)2 = 72

(x – 3)2 + (– x + n + 4)2 = 72

x2 – 6x + 9 + x2 + n2 + 16 – 2nx – 8x + 8n = 72

2x2 – (2n + 14)x + n2 + 8n – 47 = 0

 

Syarat bersinggungan adalah

D = 0

b2 – 4ac = 0

(2n + 14)2 – 4.2.( n2 + 8n – 47) = 0

4n2 + 56n + 196 – 8n2 – 64n + 376 = 0

– 4n2 – 8n + 572 = 0

n2 + 2n – 143 = 0

(n + 13)(n – 11) = 0

n = – 13 atau n = 11

 

Untuk n =  – 13

y = – x + n

y = – x – 13

x + y + 13 = 0

 

Untuk n = 11

y = – x + n

y = – x + 11

x + y – 11 = 0

 

 

Contoh Soal 8 :

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + 6x – 2y – 35 = 0 yang tegak lurus dengan x + 2y = 7

Jawab :

x + 2y = 7

2y = – x + 7

y = – ½x + 7/2

m1 = –½

Karena saling tegak lurus maka

m1.m2 =  – 1

–½.m2 =  – 1

m2 = 2

 

Persamaan garis

y = mx + n

y = 2x + n

 

Selanjutnya garis ini kita subtitusikan ke persamaan

x2 + y2 + 6x – 2y – 35 = 0

x2 + (2x + n )2 + 6x – 2(2x + n ) – 35 = 0

x2 + 4x2 + 4nx + n2 + 6x – 4x – 2n – 35 = 0

5x2  + (4n + 2)x + n2 – 2n – 35 = 0

 

Agar bersinggungan maka

D = 0

b2 – 4ac = 0

(4n + 2)2 – 4.5.(n2 – 2n – 35) = 0

16n2 + 16n + 4 – 20n2 + 40n + 700 = 0

– 4n2 + 56n + 704 = 0

n2 – 14n – 176 = 0

(n + 8)(n – 22) = 0

n = – 8 atau n = 22

Untuk menentukan garis singgung maka nilai n ini kita subtitusikan ke persamaan

y = 2x + n

n = – 8 maka y = 2x – 8

n = 22 maka y = 2x + 22

 

 

Contoh Soal 9 :

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 – 8x – 2y – 3 = 0 yang ditarik dari titik (4, 11)

 

Jawab :

Persamaan garis yang melalui (4, 11) adalah

y – 11 = m(x – 4)

y = mx – 4m + 11

Garis ini kita subtitusikan ke persamaan

x2 + y2 – 8x – 2y – 3 = 0

x2 + (mx – 4m + 11)2 – 8x – 2(mx – 4m + 11) – 3 = 0

x2 + m2x2 + 16m2 + 121 – 8m2x + 22mx – 88m – 8x – 2mx + 8m – 22 – 3 = 0

(1 + m2)x2 + (–8m2 + 20m – 8)x  + 16m2 – 80m + 96 = 0

 

Agar bersinggungan maka

D = 0

b2 – 4ac = 0

(–8m2 + 20m – 8)2 – 4(1 + m2)(16m2 – 80m + 96) = 0

(–8m2 + 20m – 8)2 – 4 (16m2 – 80m + 96 + 16m4 – 80m3 + 96m2) = 0

64m4 + 400m2 + 64 – 320m3 + 128m2 – 320m – 64m2 + 320m – 384 – 64m4 + 320m3 – 384m2 = 0

80m2 – 320 = 0

m2 – 4 = 0

(m – 2)(m + 2) = 0

m = 2 atau m = –2

 

Selanjutnya nilai m kita subtitusikan ke persamaan

y = mx – 4m + 11

m = 2 maka y = 2x + 3

m = – 2 maka y = – 2x + 19

Comments are closed.