Garis Singgung Elips Dengan Diskriminan

Penggunaan Diskriminan untuk mencari persamaan garis singgung pada elips sebenarnya jarang dilakukan. Akan tetapi di sini saya akan mencoba membahasnya.

Pada intinya jika sebuah garis menyinggung kurva maka berlaku D = 0, dengan D = b2 – 4ac

 

Contoh soal 1 :

Tentukan persamaan garis singgung pada elips 4x2 + y2 = 17 yang bergradien 8

Jawab :

Gradien = 8 , jadi m = 8

Persamaan garis singgung bisa ditulis menjadi

y = mx + n

y = 8x + n

Persamaan ini bisa disubtitusikan ke kurva

4x2 + y2 = 17

4x2 + (8x + n)2 = 17

4x2 + 64x2 + 16nx + n2 = 17

68x2 + 16nx + n2 – 17 = 0

Syarat bersinggungan :

D = 0

b2 – 4ac = 0

(16n)2 – 4.68(n2 – 17) = 0

256n2 – 272n2 + 4624 = 0

–16n2 = –4624

n2 = 289

n = 17 atau n = –17

 

Untuk n = 17, persamaan garis singgungya

y = 8x + 17

 

Untuk n = –17, persamaan garis singgungya

y = 8x – 17

 

Contoh soal 2 :

Tentukan persamaan garis singgung pada elips

yang tegak lurus dengan 3x + 2y = 30

Jawab :

3x + 2y = 30

2y = –3x + 30

maka m1 = -3/2

karena tegak lurus maka

m1.m2 = –1

sehingga m2 =2/3

maka garis singgungnya bisa dimisalkan

y = m2x + n

Selanjutnya persamaan garis ini kita subtitusikan ke elips

Jika kedua ruas dikalikan dengan 72 maka

4x2 + 9y2 = 72

4x2 + 4x2 + 12nx + 9n2 – 72 = 0

8x2 + 12nx + 9n2 – 72 = 0

 

Syarat bersinggungan :

D = 0

b2 – 4ac = 0

(12n)2 – 4.8.(9n2 – 72) = 0

144n2 – 288n2 + 2304 = 0

–288n2  = –2304

n2 = 16

n = 4 atau n = –4

 

Jadi, persamaan garisnya adalah

  atau 

 

Contoh Soal 3 :

Tentukan persamaan garis singgung elips

di titik (4, 3)

 

Jawab :

Persamaan garis yang melalui (4, 3) adalah

y – 3 = m(x – 4)

y – 3 = mx – 4m

y = mx – 4m + 3

Persamaan ini kita subtitusikan ke elips

Jika kedua ruas dikali dengan 180 maka

9x2 + 4y2 = 180

9x2 + 4(mx – 4m + 3)2 = 180

9x2 + 4(m2x2 + 16m2 + 9 – 8m2x + 6mx – 24m) = 180

9x2 + 4m2x2 + 64m2 + 36 – 32m2x + 24mx –96m = 180

(9 + 4m2)x2 + (24m – 32m2)x + 64m2 – 96m – 144 = 0

 

Syarat bersinggungan

D = 0

b2 – 4ac = 0

(24m – 32m2)2 – 4(9 + 4m2) (64m2 – 96m – 144)=0

(8(3m – 4m2))2 – 4(9 + 4m2) 16 (4m2 – 6m – 9)=0

64(3m – 4m2)2 – 64(9 + 4m2) (4m2 – 6m – 9)=0

 

Jika kedua ruas dibagi dengan 64 maka

(3m – 4m2)2 – (9 + 4m2) (4m2 – 6m – 9)=0

9m2 – 24m3 + 16m4 – (36m2 – 54m – 81 + 16m4 – 24m3 – 36m2) = 0

9m2 + 54m + 81 = 0

m2 + 6m + 9 = 0

(m + 3)2 = 0

m = –3

 

Selanjutnya nilai m kita subtitusikan ke persamaan

y = mx – 4m + 3

y = –3x + 12 + 3

y = –3x + 15

Comments are closed.