Deret Geometri

Deret geometri memiliki ciri-ciri perbandingan (rasio) tetap. Jadi, rasio sama artinya dengan suku kedua dibagi suku pertama atau suku ketiga dibagi suku kedua, bisa juga suku keempat dibagi suku ketiga, begitu seterusnya

Supaya lebih jelas, ciri-ciri deret geometri bisa ditulis

Suku ke n deret geometri bisa ditulis menjadi

Un = arn-1

Jumlah n suku pertama deret geometri bisa ditulis menjadi

 

Contoh soal 1

Agar 2, x-1, 18 membentuk barisan geometri maka nilai x sama dengan …

Jawab :

U22 = U1.U3
(x – 1)2 = 2.18
x2 – 2x + 1 = 36
x2 – 2x – 35 = 0
(x – 7)(x + 5) = 0
maka
x = 7 atau x = -5

 

Contoh soal 2 :

Dari barisa bilangan

1/729, 1/243, 1/81, 1/27, 1/9 …..

suku ke 14 sama dengan …..

Jawab :

a = 1/729

U14 = ar13

 

Contoh soal 3 :

Pada barisan geometri diketahui U9=2 dan U14 = 64 maka U17 = ….

Jawab :

r = 2
U9 = 2
ar8 = 2
a.28 = 2

U17 = ar16 =2-7.216 = 29 = 512

 

Contoh soal 4 :

Pada barisan geometri diketahui U47U50U62 = 27
Nilai dari U1U2U3U4U5……U105 = ?

Jawab :

U47U50U62 = 27
ar46.ar49.ar61=27
a3r156=27
(ar52)3=33
ar52=3

U1U2U3U4U5……U105
=a.ar.ar2.ar3.ar4…..ar104
=a105r1+2+3+….+104

Pangkat pada r bisa dihitung dengan deret aritmetika

1 + 2 + 3 + 4 + …+ 104

jadi, hasil di atas bisa kita ubah menjadi

a105r52.105
=(ar52)105
=3105

 

Contoh soal 5 :

Tentukan jumlah dari

1 + 3 + 9 + ….+6561

Jawab :

a = 1      r = 3/1 = 3
Un = 6561
arn – 1 = 6561
1.3n – 1 = 6561
3n – 1 = 38
n – 1 = 8
n = 9

 

Contoh soal 6

Nilai x yang memenuhi persamaan
5 + 10 + 20 + ….+x = 5115

Jawab :
a = 5     r = 10/5 = 2
Un = x = ?
Sn = 5115

5(2n – 1) = 5115
2n – 1 = 1023
2n = 1024
2n = 210
n = 10
x = Un = arn – 1
x = U10 = ar9
x = 5.29 = 5(512) = 2560

 

Contoh soal 7

Tiga bilangan membentuk barisan geometri dengan jumlah 70. Jika suku ketiga dikurangi 10 maka terbentuk barisan aritmetika. Hasil kali ketiga bilangan semula sama dengan ….

Jawab :

Misalkan ketiga bilangan itu adalah a, ar, ar2 maka
a + ar + ar2 = 70  ……………………………(1)
a, ar, ar2 – 10 membentuk barisan aritmetika
maka
U2 – U1 = U3 – U2
ar – a = ar2 – 10 – ar
a – 2ar + ar2 = 10 ………………………….(2)

Jika persamaan (1) dikurangi persmaan (2) diperoleh
3ar = 60
ar = 20

Hasil kali ketiga bilangan semula
a.ar.ar2 = a3r3 = (ar)3 = 203 = 8000

 

Contoh soal 8 :

Pada deret geometri diketahui S10 = 27, S20 = 36 maka S30 = ….

Jawab :

27(r10 – 1) = 36
r10 – 1 = 4/3
r10 = 1/3 ……………………………(1)
r20 = 1/9 ……………………………(2)

S30 = 27(1/9 + 1/3 + 1)
S30 = 3 + 9 + 27 = 39

 

Cara II

S10 = U1 + U2 + U3 + ….+ U10 = 27
a + ar + ar2 + …+ ar9 = 27 ………………(1)
S20 = S10 + U11 + U12 + U13 + ….+ U20 = 36
27 + ar10 + ar11 + ar12 + …+ ar19 = 36
ar10 + ar11 + ar12 + …+ ar19 = 9
r10(a + ar + ar2 + …+ ar9)= 9
r10(27) = 9
r10= 1/3 ……………………………………(2)
r20= 1/9 ……………………………………(2)
S30 = S20 +  U21 + U22 + U23 + ….+ U20
S30 = 36 + ar20 + ar21 + ar22 + …+ ar29
S30 = 36 + r20 (a + ar + ar2 + …+ ar9)
S30 = 36 + 1/9 (27) = 36 + 3 = 39

 

Contoh soal 9 :

Un menyatakan suku ke n pada barisan aritmetika. Jika U1, U3, U7, Ux, dan Uy membentuk barisan geometri maka x + y = ….

Jawab :
Un=a+(n-1)b
U1=a
U3=a+2b
U7=a+6b
Ux=a+(x-1)b
Uy=a+(y-1)b

Karena membentuk barisan geometri maka

(a + 2b)2 = a(a + 6b)
a2 + 4ab + 4b2 = a2 + 6ab
4b2 = 2ab

Jika kedua ruas dibagi 2b maka

2b = a
a = 2b ………………………………………………(1)

bx + b = 16b
bx = 15b
x = 15

by + b = 32b
by = 31b
y = 31

Jadi  x + y = 46

Comments are closed.