Archive for Trigonometri

Suku Banyak dan Trigonometri

Suku Banyak dan Trigonometri, kelihatannya tidak ada hubungannya. Akan tetapi seringkali akar-akar suku banyak berupa trigonometri, apakah sinus, cosinus ataupun tangen.

sebagai contoh kita pilih soal berikut

Misalkan x1 = 2cos 40o, x2 = 2cos 80o, x3 = 2 cos 160o

1. Tentukan nilai dari x1 + x2 + x3

2. Tentukan nilai dari x1.x2.x3

3. Tentukan nilai dari x1.x2 + x1.x3 + x2.x3

4. Tentukan persamaan kubik yang akar-akarnya x1 , x2, dan x3

 

Jawab :

Nomor 1

x1 + x2 + x3

= 2cos 40o+ 2cos 80o + 2 cos 160o

= 2(cos 80o+ 2cos 40o) + 2 cos 160o

= 4 cos 60o cos 20o + 2 cos (180o – 20o)

= 4. 0,5. cos 20o – cos 20o = 0

 

Nomor 2 :

x1.x2.x3 = (2cos 40o)( 2cos 80o)(2 cos 160o)

x1.x2.x3 = 8 cos 40o .cos 80o.cos 160o

x1.x2.x3 sin40o = 8 sin40o cos 40o .cos 80o.cos 160o

(ingat sin40o cos 40o = 0,5 sin 80o)

x1.x2.x3 sin40o = 4 sin 80o .cos 80o.cos 160o

(ingat sin 80o cos 80o = 0,5 sin 160o)

x1.x2.x3 sin40o = 2 sin 160o .cos 160o

Your ads will be inserted here by

Easy Plugin for AdSense.

Please go to the plugin admin page to
Paste your ad code OR
Suppress this ad slot.

x1.x2.x3 sin40o = sin 320o

x1.x2.x3 sin40o = sin (360o – 40o)

x1.x2.x3 sin40o = – sin 40o

x1.x2.x = – 1

 

Nomor 3 :

x1.x2 + x1.x3 + x2.x3

x1.x2 + x3.(x1 + x2)

= (2cos 40o).(2cos 80o) +  (2cos 40o).(2cos 160o) +  (2cos 80o).(2cos 160o)

= 4cos 40o.cos 80o +  4cos 40o.cos 160o + 4cos 80o.cos 160o

= (2 cos 120o + 2 cos 40o) + (2 cos 200o + 2 cos 120o ) + (2 cos 240o + 2 cos 80o )

= (2 (-0,5) + 2 cos 40o) + (2 cos 200o + 2 (-0,5) ) + (2 (-0,5) + 2 cos 80o )

= -1 + 2 cos 40o + 2 cos 200o -1 -1 + 2 cos 80o

= -3 + 2(cos 80o + cos 40o) + 2 cos 200o

= -3 + 2.2 cos 60o cos 20o + 2 cos (180o + 20o)

= – 3 + 4(0,5) cos 20o – 2 cos 20o

= -3 + 2cos 20o – 2 cos 20o = -3

 

Nomor 4 :

Persamaan kubik yang akar-akarnya x1, x2, dan x3 adalah

x3 – (x1 + x2 + x3 )x2 + (x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 )x – x1 x2 x3 = 0

Dengan mensubtitusikan hasil perhitungan nomor 1, 2, dan 3 maka diperoleh

x3 – (0)x2 + (-3)x – (-1) = 0

x3 -3x + 1 = 0

 

Bentuk a cos x + b sin x

Bentuk a cos x + b sin x bisa diubah menjadi

a cos x + b sin x = k cos (x – α)

Nilai k dan α tidak ada di ruas kiri, sehingga bisa dicari dengan cara sebagai berikut

a cos x + b sin x = k cos (x – α)

a cos x + b sin x = k [cos x cos α + sin x sin α]

a cos x + b sin x = k cos x cos α + k sin x sin α

a cos x + b sin x = k cos α cos x + k sin α sin x

Maka

k cos α = a → k2 cos2 α = a2

k sin α = b → k2 sin2 α = b2

k2 cos2 α + k2 sin2 α = a2 + b2

k2 (cos2 α + sin2 α) = a2 + b2

k2 = a2 + b2

Jika k sin α dan k cos α kita bagikan maka diperoleh

Kesimpulan

a cos x + b sin x = k cos (x – α)

dengan

dan

 

Contoh soal 1 :

(A) 10 cos ( x + 60o)

(B) 10cos ( x – 60o)

(C) 20 sin ( x + 60o)

(D) 10 sin ( x – 60o)

(E) 20 cos ( x – 60o)

 

Jawab :

 

Contoh soal 2

(A) 21cos ( x + 30o)

(B) 21cos ( x – 30o)

(C) 21cos ( x – 60o)

(D) 14cos ( x – 60o)

(E) 14cos ( x + 60o)

 

Jawab :

 

(nilai (-) disebabkan kita memilih sudut α di kuadran IV. hal ini disebabkan bentuk pecahan tan α memiliki pembilang negatif dan penyebut positif / nilai y negatif dan x positif)

 

Contoh soal 3 :

(A)25 cos ( x – 45o)

(B)25 cos ( x + 45o)

(C) 10 cos ( x – 315o)

(D)10 cos ( x + 315o)

(E)10 sin ( x – 315o)

 

Jawab :

   (kuadran IV)

sudut kuadran IV sebesar -45o sama dengan 315o

 

Contoh soal 4 :

(A) 12 cos ( x – 150o)

(B) 12 cos ( x + 150o)

(C) 24 cos ( x – 150o)

(D) 24 sin ( x + 150o)

(E) 24 sin ( x – 150o)

 

Jawab :

          (kuadran II)

Pemilihan kuadran II disebabkan pada nilai tan α nilai pembilang positif dan penyebut negatif /y positif, x negatif

 

 

Contoh soal 5 :

(A) 16 cos ( x – 120o)

(B) 16 cos ( x + 120o)

(C) 8 cos ( 3x + 120o)

(D) 8 cos ( 3x – 120o)

(E) 8 cos ( 3x – 150o)

 

Jawab :

Jadi

 

Contoh soal 5 :

(A) 8 cos ( x – 30o)

(B) 8 sin ( x – 30o)

(C) 8 cos ( x + 30o)

(D) 

(E) 

 

Jawab :

 

Catatan :