Suku Banyak dan Trigonometri, kelihatannya tidak ada hubungannya. Akan tetapi seringkali akar-akar suku banyak berupa trigonometri, apakah sinus, cosinus ataupun tangen.

sebagai contoh kita pilih soal berikut

Misalkan x₁ = 2cos 40^o, x₂ = 2cos 80^o, x₃ = 2 cos 160^o

1. Tentukan nilai dari x₁ + x₂ + x₃

2. Tentukan nilai dari x₁.x₂.x₃

3. Tentukan nilai dari x₁.x₂ + x₁.x₃ + x₂.x₃

4. Tentukan persamaan kubik yang akar-akarnya x₁ , x₂, dan x₃

 

Jawab :

Nomor 1

x₁ + x₂ + x₃

= 2cos 40^o+ 2cos 80^o + 2 cos 160^o

= 2(cos 80^o+ 2cos 40^o) + 2 cos 160^o

= 4 cos 60^o cos 20^o + 2 cos (180^o — 20^o)

= 4. 0,5. cos 20^o — cos 20^o = 0

 

Nomor 2 :

x₁.x₂.x₃ = (2cos 40^o)( 2cos 80^o)(2 cos 160^o)

x₁.x₂.x₃ = 8 cos 40^o .cos 80^o.cos 160^o

x₁.x₂.x₃ sin40^o = 8 sin40^o cos 40^o .cos 80^o.cos 160^o

(ingat sin40^o cos 40^o = 0,5 sin 80^o)

x₁.x₂.x₃ sin40^o = 4 sin 80^o .cos 80^o.cos 160^o

(ingat sin 80^o cos 80^o = 0,5 sin 160^o)

x₁.x₂.x₃ sin40^o = 2 sin 160^o .cos 160^o

x₁.x₂.x₃ sin40^o = sin 320^o

x₁.x₂.x₃ sin40^o = sin (360^o — 40^o)

x₁.x₂.x₃ sin40^o = — sin 40^o

x₁.x₂.x₃ = — 1

 

Nomor 3 :

x₁.x₂ + x₁.x₃ + x₂.x₃

x₁.x₂ + x₃.(x₁ + x₂)

= (2cos 40^o).(2cos 80^o) + (2cos 40^o).(2cos 160^o) + (2cos 80^o).(2cos 160^o)

= 4cos 40^o.cos 80^o + 4cos 40^o.cos 160^o + 4cos 80^o.cos 160^o

= (2 cos 120^o + 2 cos 40^o) + (2 cos 200^o + 2 cos 120^o ) + (2 cos 240^o + 2 cos 80^o )

= (2 (-0,5) + 2 cos 40^o) + (2 cos 200^o + 2 (-0,5) ) + (2 (-0,5) + 2 cos 80^o )

= -1 + 2 cos 40^o + 2 cos 200^o -1 -1 + 2 cos 80^o

= -3 + 2(cos 80^o + cos 40^o) + 2 cos 200^o

= -3 + 2.2 cos 60^o cos 20^o + 2 cos (180^o + 20^o)

= — 3 + 4(0,5) cos 20^o — 2 cos 20^o

= -3 + 2cos 20^o — 2 cos 20^o = -3

 

Nomor 4 :

Persamaan kubik yang akar-akarnya x₁, x₂, dan x₃ adalah

x³ — (x₁ + x₂ + x₃ )x² + (x₁ x₂ + x₁ x₃ + x₂ x₃ )x — x₁ x₂ x₃ = 0

Dengan mensubtitusikan hasil perhitungan nomor 1, 2, dan 3 maka diperoleh

x³ — (0)x² + (-3)x — (-1) = 0

x³ -3x + 1 = 0

Bentuk a cos x + b sin x bisa diubah menjadi

a cos x + b sin x = k cos (x – α)

Nilai k dan α tidak ada di ruas kiri, sehingga bisa dicari dengan cara sebagai berikut

a cos x + b sin x = k cos (x – α)

a cos x + b sin x = k [cos x cos α + sin x sin α]

a cos x + b sin x = k cos x cos α + k sin x sin α

a cos x + b sin x = k cos α cos x + k sin α sin x

Maka

k cos α = a → k² cos² α = a²

k sin α = b → k² sin² α = b²

k² cos² α + k² sin² α = a² + b²

k² (cos² α + sin² α) = a² + b²

k² = a² + b²

Jika k sin α dan k cos α kita bagikan maka diperoleh

Kesimpulan

a cos x + b sin x = k cos (x – α)

dengan

dan

 

Contoh soal 1 :

(A) 10 cos ( x + 60^o)

(B) 10cos ( x – 60^o)

(C) 20 sin ( x + 60^o)

(D) 10 sin ( x – 60^o)

(E) 20 cos ( x – 60^o)

 

Jawab :

 

Contoh soal 2

(A) 21cos ( x + 30^o)

(B) 21cos ( x — 30^o)

(C) 21cos ( x – 60^o)

(D) 14cos ( x – 60^o)

(E) 14cos ( x + 60^o)

 

Jawab :

 

(nilai (-) disebabkan kita memilih sudut α di kuadran IV. hal ini disebabkan bentuk pecahan tan α memiliki pembilang negatif dan penyebut positif / nilai y negatif dan x positif)

 

Contoh soal 3 :

(A)25 cos ( x — 45^o)

(B)25 cos ( x + 45^o)

(C) 10 cos ( x – 315^o)

(D)10 cos ( x + 315^o)

(E)10 sin ( x – 315^o)

 

Jawab :

(kuadran IV)

sudut kuadran IV sebesar -45^o sama dengan 315^o

 

Contoh soal 4 :

(A) 12 cos ( x — 150^o)

(B) 12 cos ( x + 150^o)

(C) 24 cos ( x — 150^o)

(D) 24 sin ( x + 150^o)

(E) 24 sin ( x – 150^o)

 

Jawab :

(kuadran II)

Pemilihan kuadran II disebabkan pada nilai tan α nilai pembilang positif dan penyebut negatif /y positif, x negatif

 

 

Contoh soal 5 :

(A) 16 cos ( x — 120^o)

(B) 16 cos ( x + 120^o)

(C) 8 cos ( 3x + 120^o)

(D) 8 cos ( 3x — 120^o)

(E) 8 cos ( 3x — 150^o)

 

Jawab :

Jadi

 

Contoh soal 5 :

(A) 8 cos ( x — 30^o)

(B) 8 sin ( x — 30^o)

(C) 8 cos ( x + 30^o)

(D)

(E)

 

Jawab :

 

Catatan :