Archive for Trigonometri

Suku Banyak dan Trigonometri

Suku Banyak dan Trigonometri, kelihatannya tidak ada hubungannya. Akan tetapi seringkali akar-akar suku banyak berupa trigonometri, apakah sinus, cosinus ataupun tangen.

sebagai contoh kita pilih soal berikut

Misalkan x1 = 2cos 40o, x2 = 2cos 80o, x3 = 2 cos 160o

1. Tentukan nilai dari x1 + x2 + x3

2. Tentukan nilai dari x1.x2.x3

3. Tentukan nilai dari x1.x2 + x1.x3 + x2.x3

4. Tentukan persamaan kubik yang akar-akarnya x1 , x2, dan x3

 

Jawab :

Nomor 1

x1 + x2 + x3

= 2cos 40o+ 2cos 80o + 2 cos 160o

= 2(cos 80o+ 2cos 40o) + 2 cos 160o

= 4 cos 60o cos 20o + 2 cos (180o – 20o)

= 4. 0,5. cos 20o – cos 20o = 0

 

Nomor 2 :

x1.x2.x3 = (2cos 40o)( 2cos 80o)(2 cos 160o)

x1.x2.x3 = 8 cos 40o .cos 80o.cos 160o

x1.x2.x3 sin40o = 8 sin40o cos 40o .cos 80o.cos 160o

(ingat sin40o cos 40o = 0,5 sin 80o)

x1.x2.x3 sin40o = 4 sin 80o .cos 80o.cos 160o

(ingat sin 80o cos 80o = 0,5 sin 160o)

x1.x2.x3 sin40o = 2 sin 160o .cos 160o

x1.x2.x3 sin40o = sin 320o

x1.x2.x3 sin40o = sin (360o – 40o)

x1.x2.x3 sin40o = – sin 40o

x1.x2.x = – 1

 

Nomor 3 :

x1.x2 + x1.x3 + x2.x3

x1.x2 + x3.(x1 + x2)

= (2cos 40o).(2cos 80o) +  (2cos 40o).(2cos 160o) +  (2cos 80o).(2cos 160o)

= 4cos 40o.cos 80o +  4cos 40o.cos 160o + 4cos 80o.cos 160o

= (2 cos 120o + 2 cos 40o) + (2 cos 200o + 2 cos 120o ) + (2 cos 240o + 2 cos 80o )

= (2 (-0,5) + 2 cos 40o) + (2 cos 200o + 2 (-0,5) ) + (2 (-0,5) + 2 cos 80o )

= -1 + 2 cos 40o + 2 cos 200o -1 -1 + 2 cos 80o

= -3 + 2(cos 80o + cos 40o) + 2 cos 200o

= -3 + 2.2 cos 60o cos 20o + 2 cos (180o + 20o)

= – 3 + 4(0,5) cos 20o – 2 cos 20o

= -3 + 2cos 20o – 2 cos 20o = -3

 

Nomor 4 :

Persamaan kubik yang akar-akarnya x1, x2, dan x3 adalah

x3 – (x1 + x2 + x3 )x2 + (x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 )x – x1 x2 x3 = 0

Dengan mensubtitusikan hasil perhitungan nomor 1, 2, dan 3 maka diperoleh

x3 – (0)x2 + (-3)x – (-1) = 0

x3 -3x + 1 = 0

 

Bentuk a cos x + b sin x

Bentuk a cos x + b sin x bisa diubah menjadi

a cos x + b sin x = k cos (x – α)

Nilai k dan α tidak ada di ruas kiri, sehingga bisa dicari dengan cara sebagai berikut

a cos x + b sin x = k cos (x – α)

a cos x + b sin x = k [cos x cos α + sin x sin α]

a cos x + b sin x = k cos x cos α + k sin x sin α

a cos x + b sin x = k cos α cos x + k sin α sin x

Maka

k cos α = a → k2 cos2 α = a2

k sin α = b → k2 sin2 α = b2

k2 cos2 α + k2 sin2 α = a2 + b2

k2 (cos2 α + sin2 α) = a2 + b2

k2 = a2 + b2

Jika k sin α dan k cos α kita bagikan maka diperoleh

Kesimpulan

a cos x + b sin x = k cos (x – α)

dengan

dan

 

Contoh soal 1 :

(A) 10 cos ( x + 60o)

(B) 10cos ( x – 60o)

(C) 20 sin ( x + 60o)

(D) 10 sin ( x – 60o)

(E) 20 cos ( x – 60o)

 

Jawab :

 

Contoh soal 2

(A) 21cos ( x + 30o)

(B) 21cos ( x – 30o)

(C) 21cos ( x – 60o)

(D) 14cos ( x – 60o)

(E) 14cos ( x + 60o)

 

Jawab :

 

(nilai (-) disebabkan kita memilih sudut α di kuadran IV. hal ini disebabkan bentuk pecahan tan α memiliki pembilang negatif dan penyebut positif / nilai y negatif dan x positif)

 

Contoh soal 3 :

(A)25 cos ( x – 45o)

(B)25 cos ( x + 45o)

(C) 10 cos ( x – 315o)

(D)10 cos ( x + 315o)

(E)10 sin ( x – 315o)

 

Jawab :

   (kuadran IV)

sudut kuadran IV sebesar -45o sama dengan 315o

 

Contoh soal 4 :

(A) 12 cos ( x – 150o)

(B) 12 cos ( x + 150o)

(C) 24 cos ( x – 150o)

(D) 24 sin ( x + 150o)

(E) 24 sin ( x – 150o)

 

Jawab :

          (kuadran II)

Pemilihan kuadran II disebabkan pada nilai tan α nilai pembilang positif dan penyebut negatif /y positif, x negatif

 

 

Contoh soal 5 :

(A) 16 cos ( x – 120o)

(B) 16 cos ( x + 120o)

(C) 8 cos ( 3x + 120o)

(D) 8 cos ( 3x – 120o)

(E) 8 cos ( 3x – 150o)

 

Jawab :

Jadi

 

Contoh soal 5 :

(A) 8 cos ( x – 30o)

(B) 8 sin ( x – 30o)

(C) 8 cos ( x + 30o)

(D) 

(E) 

 

Jawab :

 

Catatan :