Archive for Irisan Kerucut

Bentuk Umum Persamaan Hiperbola

Bentuk umum persamaan hiperbola ada 2 kemungkinan, yaitu :
• Hiperbola horizontal
Ax2 – By2 + Cx + Dy + E = 0
• Hiperbola vertical
Ay2 – Bx2 + Cx + Dy + E = 0

Untuk menghitung unsur-unsur yang ada di persamaan hiperbola ini, akan jauh lebih mudah jika persamaan kita ubah menjadi

atau

 

Contoh soal 1

Diketahui Hiperbola dengan persamaan

25x2 – 144y2 – 300x – 288y –  2844 = 0

Tentukan

  • Koordinat pusat
  • Jarak pusat ke puncak
  • Jarak antar puncak
  • Jarak pusat ke fokus
  • Jarak antar fokus
  • Koordinat puncak
  • Koordinat fokus
  • Panjang latus rectum
  • Eksentrisitas
  • Persamaan asimtot
  • Persamaan direktris

 

Jawab :

25x2 – 144y2 – 300x – 288y –  2844 = 0

25x2  – 300x – 144y2 – 288y =  2844

25(x2 – 12x) – 144(y2 + 2y) = 2844

25[(x – 6)2 – 36] – 144[(y + 1)2 – 1] = 2844

25(x – 6)2 – 900 – 144(y + 1)2 + 144 = 2844

25(x – 6)2 – 144(y + 1)2  = 2844 – 144 + 900

25(x – 6)2 – 144(y + 1)2 = 3600

Jika kedua ruas dibagi dengan 3600 maka :

Jenis hiperbola adalah horizontal

a2 = 144 maka a = 12

b2 = 25 maka b = 5

c2 = a2 + b2 = 144 + 25 = 169 maka c = 13

Koordinat pusat (6, – 1)

Jarak antar puncak = 2a = 24

Jarak pusat ke fokus = c = 13

Jarak antar fokus = 2c = 26

 

Koordinat puncak  (12, 0)dan ( – 12 , 0)

Untuk memudahkan cara mencari puncak adalah sebagai berikut :

Menentukan Puncak Hiperbola

Menentukan Puncak Hiperbola

 

Untuk mendapatkan puncak maka absis pusat x = 6 kita tambah dengan a=12 atau kita kurangi dengan 12

Puncak kanan diperoleh  dengan menambah absis dengan 12. x = 6 + 12 = 18, jadi puncaknya (18, –1)

Puncak kiri diperoleh  dengan mengurangi absis dengan 12. x = 6 – 12 = –6 , jadi puncaknya (–6, –1)

 

Koordinat fokus (13, 0)dan ( – 13 , 0)

hiperbola-horizontal-menentukan-fokus

Your ads will be inserted here by

Easy Plugin for AdSense.

Please go to the plugin admin page to
Paste your ad code OR
Suppress this ad slot.

Untuk mendapatkan fokus maka absis pusat x = 6 kita tambah dengan c=13 atau kita kurangi dengan 13

Fokus kanan diperoleh  dengan menambah absis dengan 13. x = 6 + 13 = 19, jadi fokusnya (19, –1)

Fokus kiri diperoleh dengan mengurangi absis dengan 13. x = 6 – 13 = –7 , jadi fokusnya (–7, –1)

 

 

Panjang latus rectum

 

Eksentrisitas

 

Persamaan asimtot

Persamaan asimtot untuk hiperbola horizontal dengan pusat (p, q) adalah

12y + 12 = 5x – 30 atau 12y + 12 = –5x + 30

5x – 12y – 42 = 0 atau 5x + 12y – 18 = 0

Jika tidak hafal dengan rumus maka cara mencari asimtot adalah dengan mengubah bilangan 1 di ruas kanan menjadi 0

Persamaan hiperbola

5(x – 6) = 12(y + 1) atau 5(x – 6) = –12(y + 1)

5x – 30 = 12y + 12 atau 5x – 30 = –12y – 12

5x – 12y – 42 = 0 atau 5x + 12y – 18 = 0

 

Persamaan direktris

Jarak pusat ke direktris adalah

direktris-hiperbola-horizontal

Untuk mendapatkan direktris maka absis yang ada di pusat (x = 6) kita tambah dengan 11 atau dikurangi 11

Direktris kanan x = 6 + 11 = 17

Direktris kiri  x = 6 – 11 = –5

 

 

Pergeseran Hiperbola

Hiperbola dengan pusat (0,0) memiliki persamaan

Hiperbola horizontal :

Hiperbola vertikal :

Jika hiperbola kita geser ke kanan sejauh p dan ke atas sejauh q maka persamaannya menjadi

Hiperbola horizontal :

Hiperbola vertikal :

 

Semua aturan pada hiperbola

  • Tidak ada aturan mana yang lebih besar di antara a dan b
  • a2 berada di area yang berkoefisien positif
  • b2 berada di area yang berkoefisien negatif
  • a2 + b2 = c2
  • jarak pusat ke puncak = a
  • jarak pusat ke fokus = c
  • jarak antar puncak 2a
  • jarak antar fokus = 2c
  • eksentrisitas e = c/a
  • jarak pusat ke persamaan direktris = a/e

 

Contoh soal 1 :

Diketahui hiperbola

Tentukan

  • Jarak pusat ke puncak
  • Jarak pusat ke fokus
  • Jarak antara 2 puncak
  • Jarak antara 2 fokus
  • Koordinat titik pusat
  • Koordinat titik puncak
  • Koordinat titik fokus
  • Eksentrisitas
  • Panjang latus rectum
  • Persamaan asimtot
  • Persamaan direktris

 

Jawab :

a2 = 9 maka a = 3

b2 = 16 maka b = 4

akibatnya

c2 = a2 + b2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25

maka c = 5

  • Jarak pusat ke puncak = a = 3
  • Jarak pusat ke fokus = c = 5
  • Jarak antara 2 puncak = 2a = 6
  • Jarak antara 2 fokus = 2c = 10
  • Koordinat titik pusat (–2, 3)
  • Koordinat puncak (1, 3) dan (–5, 3)

Untuk menentukan koordinat puncak kita bisa menggunakan bantuan gambar sebagai berikut

pergeseran-hiperbola-menentukan-puncak

Untuk menentukan puncak bagian kanan, absis titik pusat kita tambah dengan a = 3, sehingga menjadi

–2 + 3 = 1  maka puncaknya (1, 3)

Untuk menentukan puncak bagian kiri, absis titik pusat kita kurangi dengan a = 3, sehingga menjadi

–2 – 3 = –5  maka puncaknya (–5, 3)

 

 

  • Koordinat fokus (3, 3) dan (–7, 3)

Untuk menentukan koordinat fokus kita bisa menggunakan bantuan gambar sebagai berikut

 

pergeseran-hiperbola-menentukan-fokus

Untuk menentukan fokus bagian kanan, absis titik pusat kita tambah dengan c = 5, sehingga menjadi

–2 + 5 = 3  maka fokusnya f1(3, 3)

Untuk menentukan fokus bagian kiri, absis titik pusat kita kurangi dengan c = 5, sehingga menjadi

–2 – 5 = –7  maka fokusnya f2(–7,3)

 

  • Ekentrisitas e = c/a = 5/3
  • Panjang Latus rectum = 2b2/a = 2.42/5 = 32/5 = 6,4
  • Persamaan asimtot

Cara termudah untuk mencari persamaan asimtot tanpa memakai rumus adalah dengan mengubah bilangan 1 pada persamaan hiperbola dengan 0

Persamaan hiperbola :

Persamaan asimtotnya adalah

Jika kita pilih bagian positif

3y – 9 = 4x + 8

4x – 3y + 17 = 0

Jika kita pilih yang negatif

3y – 9 = – (4x + 8)

3y – 9 = –4x – 8

4x + 3y –  1 = 0

Jadi persamaan asimtottnya ada 2, yaitu 4x – 3y + 17 = 0 dan 4x + 3y –  1 = 0

 

  • Persamaan direktris

Jarak pusat ke direktris adalah

Unuk menentukan persamaan direktrisnya, perhatikan gambar berikut :

pergeseran-hiperbola-menentukan-direktris

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Puncak adalah (– 2, 3) sehingga absisnya adalah x = –2

Untuk direktris 1 (bagian kanan) maka nilai absis puncak ditambah 9/5

Untuk direktris 1 (bagian kiri) maka nilai absis puncak dikurangi 9/5

Jadi persamaan direkrisnya adalah  dan 

 

Contoh soal 2 :

Diketahui hiperbola

Tentukan

  • Jarak pusat ke puncak
  • Jarak pusat ke fokus
  • Jarak antara 2 puncak
  • Jarak antara 2 fokus
  • Koordinat titik pusat
  • Koordinat titik puncak
  • Koordinat titik fokus
  • Eksentrisitas
  • Panjang latus rectum
  • Persamaan asimtot
  • Persamaan direktris
Jawab :

a2 = 36 maka a = 6

b2 = 64 maka b = 8

akibatnya

c2 = a2 + b2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100

maka c = 10

  • Jarak pusat ke puncak = a = 6
  • Jarak pusat ke fokus = c = 10
  • Jarak antara 2 puncak = 2a = 12
  • Jarak antara 2 fokus = 2c = 20
  • Koordinat titik pusat (5, –4)
  • Koordinat puncak (5, 2) dan (5, –10)

 

pergeseran-hiperbola-menentukan-puncak-vertikal

Untuk menentukan puncak bagian atas, ordinat titik pusat kita tambah dengan a = 6, sehingga menjadi

–4 + 6 = 2  maka puncaknya (5, 2)

Untuk menentukan puncak bagian bawah, ordinat titik pusat kita kurangi dengan a = 6, sehingga menjadi

–4 – 6 = –10  maka puncaknya (5, –10)

 

  • Koordinat titik fokus f1(5, 6) dan f2(5, – 14)

pergeseran-hiperbola-menentukan-fokus-vertikal

Untuk menentukan fokus bagian atas, ordinat titik pusat kita tambah dengan c = 10, sehingga menjadi

–4 + 10 = 6  maka fokusnya (5, 6)

Untuk menentukan fokus bagian bawah, ordinat titik pusat kita kurangi dengan c = 10, sehingga menjadi

–4 – 10 = –14  maka fokusnya (5, –14)

  • Eksentrisitas e = c/a = 10/6 = 5/3
  • Panjang latus rectum = 2b2/a = 2.82/10 = 128/10 = 12,8
  • Persamaan asimtot

Cara termudah untuk mencari persamaan asimtot tanpa memakai rumus adalah dengan mengubah bilangan 1 pada persamaan hiperbola dengan 0

Persamaan hiperbola :

Persamaan asimtotnya adalah

64(y + 4)2 = 36(x – 5)2

Jika diakarkan maka

8(y + 4) =  6(x – 5)

8(y + 4) = 6(x – 5) atau 8(y + 4) = –6(x – 5)

8y + 32 = 6x – 30 atau 8y + 32 = –6x + 30

6x – 8y – 62 = 0 atay 6x + 8y + 2 = 0

 

Persamaan direktris

Jarak pusat ke direktris adalah

direktris-hiperbola-vertikal

maka persamaan direktrsinya

y = – 4 + 3,6 = – 0,4

dan

y = –4 – 3,6 = – 7,6