Dimensi Tiga

Kubus

Kubus

Kubus merupakan bangun ruang yang dibatasi oleh 6 persegi yang kongruen.

Kubus bisa juga dikatakan sebagai balok yang semua rusuknya sama panjang.

Karena dibatasi oleh 6 persegi maka luas permukaan kubus adalah 6 kali luas persegi.

L = 6r2

sedangkan volumenya adalah rusuk x rusuk x rusuk

atau

V = r3

Misalkan kita memiliki kubus ABCD.EFGH

Kubus

Ada 12 rusuk yaitu :

  • rusuk alas : AB, BC, CD, dan DA
  • rusuk tegak AE, BF, CG, dan DH
  • rusuk atas : EF, FG, GH, dan HE

Ada 8 titik sudut, yaitu A, B, C, D, E, F, G, dan H

Ada 6 sisi, yaitu ABCD, ABFE, BCGF, CDHG, ADHE, dan EFGH

Ada 12 diagonal bidang, yaitu AC, BD, AF, BE, AF, BG, CF, CH, DG, AH, DE, EG, dan FH

Ada 4 diagonal ruang, yaitu AG, BH, CE, dan DF

Ada 6 bidang diagonal , yaitu ACGE, BDHF, ADGF, BCHE, ABGH, dan CDEF

 

Contoh soal 1:

Jika luas permukaan kubus adalah 294 cm2 maka volume kubus sama dengan …..

Jawab :

L = 294

6r2 = 294

r2 = 294/6 = 49

r = 7

V = r3 = 73 = 343 cm3

 

Contoh Soal 2 :

Perbandingan luas permukaan kubus A dan B adalah 16:25. Perbandingan volume kubus A dan B adalah ….

Jawab :

 

Luas kubus

Selanjutnya kita hitung perbandingan volumenya

Volume Kubus

 

Contoh Soal 3 :

Jika luas bidang diagonal kubus adalah 25√2 cm2 maka luas permukaan kubus sama dengan …

Jawab :

kubus 2

Misal, panjang rusuk = r

BD2 = BA2 + AD2

BD2 = r2 + r2 = 2r2

BD = r√2

Luas bidang diagonal = BD x BF = r√2 . r = r2√2

 

 

Dari soal

Luas bidang diagonal =25√2

r2√2 = 25√2

r2 = 25

r = 5

Luas permukaan = 6r2

= 6 x 25 = 150 cm2

 

 

Contoh Soal 4 :

Panjang diagonal ruang kubus ABCDEFGH adalah 6√3 cm. Jika titik P adalah titik tengah CD maka panjang PE sama dengan ….

Jawab :

kubus 3

Diagonal ruang = 6√3

AG = 6√3

maka AB = 6 cm

DP = 3 cm

EA = AD = 6 cm

DP = ½ AB = 3 cm

PA2 = PD2 + DA2

PA2 = 32 + 62

PA2 = 9 + 36

PA2 = 45

 

PE2 = PA2 + AE2

PE2 = 45 + 62

PE2 = 45 + 36

PE2 = 81

PE = 9

Jarak Titik Ke Bidang

Dalam matematika. pemilihan jarak selalu diambil yang terdekat. Jarak titik ke garis, jarak titik ke bidang, jarak 2 garis, jarak garis ke bidang dan jarak 2 bidang selalu dipilih yang terdekat. Agara jaraknya terdekat maka dipilih yang tegak lurus.

Contoh soal 1

Pada limas beraturan T.ABCD, panjang rusuk tegaknya 25 cm dan panjang rusuk alasnya 7√2 cm. Jarak titik T ke bidang ABCD sama dengan …

Jawab :

limas segi empat

cm

AE = ½AC = 7 cm

 

Contoh soal 2

Pada limas beraturan D.ABC yang panjang rusuknya 12 cm, jarak titik D ke bidang ABC sama dengan …

Jawab :

bidang empat

AE2 = AB2 — BE2 = 122 — 62 = 144 — 36 = 108

DE2 = DC2 — CE2 = 122 — 62 = 144 — 36 = 108

Dengan memakai aturan cosinus pada segitiga ADE maka

DE2 = AD2 + AE2 — 2AD.AE cos α

108 = 144 + 108 — 2.12.6√3 cos α

0 = 144  — 144√3 cos α

segitiga alpha

 

Contoh soal 3 :

Pada kubus ABCDEFGH, titik P pada AD dan titik Q pada EH sehingga AP=EQ = 12 cm. Jika panjang rusuk 12√3 cm maka jarak A ke BPQF sama dengan …

 

kubus abcdefgh

 

Jawab :

BP2 = BA2 + AP2 = 432 + 144 = 576

BP = 24

t = 30o ====> sin t = ½

 

 

Contoh soal 4 :

Pada kubus KLMNPQRS yang rusuknya 12 cm, jarak titik K ke bidang NLP sama dengan …

Jawab :

kubus klmnpqrs

Agar lebih mudah, kita gambar diagonal bidang KMRP

diagonal kmrp

Diagonal NLP diwakili oleh garis AP

PA2 = PK2 + KA2 = 144 + 72 = 216

Pada segitiga PKB berlaku

Pada segitiga PKA berlaku

maka bisa disimpulkan

 

Contoh soal 5 :

Diketahui balok ABCDEFGH memiliki rusuk AB = AD = 12 cm, sedangkan AE sama dengan 24 cm. Jarak G ke BDE sama dengan …

Jawab :

balok abcdefgh

Agar lebih mudah mengamatinya kita gambar bidang diagonal ACGE

bidang diagonal acge

PE2 = PA2 + AE2 = 72 + 576 = 648

Pada segitiga PAE

Pada segitiga EQG

Dari kedua persamaan bisa disimpulkan

 

Contoh soal 6 :

Pada kubus ABCDEFGH yang panjang rusuknya 18 cm, titik P pada DH sehingga DP:PH sama dengan 2:1. Jarak P ke ACH sama dengan …

kubus jarak titik ke bidang

Agar lebih mudah kita gambar bidang diagonal BDHF

 

bidang diagonal bdhf

TH2 = TD2 + DH2 = 162 + 324 = 486

Pada segitiga TDH berlaku

Pada segitiga PQH berlaku

dari kedua persamaan terakhir bisa disimpulkan

 

Contoh soal 7 :

Pada kubus ABCDEFGH yang rusuknya 12 cm, titik P pada AG sehingga AP:PG = 3:1. Jarak P ke BDG sama dengan …

bidang BDG pada kubus

 

Agar lebih mudah kita gambar bidang diagonal ACGE

bidang acge

TG2 = TC2 + CG2 = 72 + 144 = 216

x = y — z

sin x = sin (y — z)

sin x = sin y cos z — cos y sin z

Pada segitiga PQG berlaku

Dengan demikian

Jadi

 

Contoh soal 8 :

Pada balok ABCDEFGH, Panjang AB = 3cm, AD = 2 cm, dan AE = 1 cm. Jarak F ke BEG sama dengan ….