Archive for Dimensi Tiga

Jarak Titik Ke Bidang

Dalam matematika. pemilihan jarak selalu diambil yang terdekat. Jarak titik ke garis, jarak titik ke bidang, jarak 2 garis, jarak garis ke bidang dan jarak 2 bidang selalu dipilih yang terdekat. Agara jaraknya terdekat maka dipilih yang tegak lurus.

Contoh soal 1

Pada limas beraturan T.ABCD, panjang rusuk tegaknya 25 cm dan panjang rusuk alasnya 7√2 cm. Jarak titik T ke bidang ABCD sama dengan …

Jawab :

limas segi empat

cm

AE = ½AC = 7 cm

 

Contoh soal 2

Pada limas beraturan D.ABC yang panjang rusuknya 12 cm, jarak titik D ke bidang ABC sama dengan …

Jawab :

bidang empat

AE2 = AB2 – BE2 = 122 – 62 = 144 – 36 = 108

DE2 = DC2 – CE2 = 122 – 62 = 144 – 36 = 108

Dengan memakai aturan cosinus pada segitiga ADE maka

DE2 = AD2 + AE2 – 2AD.AE cos α

108 = 144 + 108 – 2.12.6√3 cos α

0 = 144  – 144√3 cos α

segitiga alpha

 

Contoh soal 3 :

Pada kubus ABCDEFGH, titik P pada AD dan titik Q pada EH sehingga AP=EQ = 12 cm. Jika panjang rusuk 12√3 cm maka jarak A ke BPQF sama dengan …

 

kubus abcdefgh

 

Jawab :

BP2 = BA2 + AP2 = 432 + 144 = 576

BP = 24

t = 30o    ====>    sin t = ½

 

 

Contoh soal 4 :

Pada kubus KLMNPQRS yang rusuknya 12 cm, jarak titik K ke bidang NLP sama dengan …

Jawab :

kubus klmnpqrs

Agar lebih mudah, kita gambar diagonal bidang KMRP

diagonal kmrp

Diagonal NLP diwakili oleh garis AP

PA2 = PK2 + KA2 = 144 + 72 = 216

Pada segitiga PKB berlaku

Pada segitiga PKA berlaku

maka bisa disimpulkan

 

Contoh soal 5 :

Diketahui balok ABCDEFGH memiliki rusuk AB = AD = 12 cm, sedangkan AE sama dengan 24 cm. Jarak G ke BDE sama dengan …

Jawab :

balok abcdefgh

Agar lebih mudah mengamatinya kita gambar bidang diagonal ACGE

bidang diagonal acge

PE2  = PA2 + AE2  = 72 + 576 = 648

Pada segitiga PAE

Pada segitiga EQG

Dari kedua persamaan bisa disimpulkan

 

Contoh soal 6 :

Pada kubus ABCDEFGH yang panjang rusuknya 18 cm, titik P pada DH sehingga DP:PH sama dengan 2:1. Jarak P ke ACH sama dengan …

kubus jarak titik ke bidang

Agar lebih mudah kita gambar bidang diagonal BDHF

 

bidang diagonal bdhf

TH2  = TD2  + DH2  = 162 + 324 = 486

Pada segitiga TDH berlaku

Pada segitiga PQH berlaku

dari kedua persamaan terakhir bisa disimpulkan

 

Contoh soal 7 :

Pada kubus ABCDEFGH yang rusuknya 12 cm, titik P pada AG sehingga AP:PG = 3:1. Jarak P ke BDG sama dengan …

bidang BDG pada kubus

 

Agar lebih mudah kita gambar bidang diagonal ACGE

bidang acge

TG2  = TC2  + CG2  = 72 + 144 = 216

x = y – z

sin x = sin (y – z)

sin x = sin y cos z – cos y sin z

Pada segitiga PQG berlaku

Dengan demikian

Jadi

 

Contoh soal 8 :

Pada balok ABCDEFGH, Panjang AB = 3cm, AD = 2 cm, dan AE = 1 cm. Jarak F ke BEG sama dengan ….

 

Soal Dimensi Tiga

Soal-Soal Dimensi Tiga

1. Kubus ABCDEFGH memiliki rusuk 12 cm. Jarak titik C ke BDG sama dengan …

.   (A) 3√3 cm

.   (B) 3√6 cm

.   (C) 4√3 cm

.   (D) 4√6 cm

.   (E) 6√2 cm

 

2. Tinggi bidang empat beraturan yang panjang rusuknya 9 cm adalah …

.   (A) 3√3 cm

.   (B) 3√6 cm

.   (C) 4√3 cm

.   (D) 4√6 cm

.   (E) 5√2 cm

 

3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a. P adalah titik pada perpanjangan AE sehingga PE = 0,5a. Jika bidang PBD memotong bidang atas EFGH sepanjang QR, maka QR =

.   (A) a/3

.   (B) a/2

.   (C) (a/3)√2

.   (D) (a/2)√2

.   (E) (2a/3)√2

 

4. Diketahui kubus ABCD.EFGH. P titik tengah HG, M titik tengah DC, N titik tengah BC dan S titik tengah MN. Perbandingan luas D APS dengan luas proyeksi D APS ke bidang ABCD adalah

.   (A) 2 : 1

.   (B) 1 : 2

.   (C) 2 : 3

.   (D) 3 : 1

.   (E) 3 : 2

 

5. Diketahui ABCD sebuah segi empat. Segitiga TAB sama kaki dengan alas AB. Segitiga TAB tegak lurus ABCD. Jika AB=12 , AD = 7 , dan TD = 25 maka jarak T ke bidang ABCD adalah …

.   (A) 0,5√2111

.   (B) 6√15

.   (C) 15√6

.   (D) 17

.   (E) √612

 

6. Rusuk TA dari bidang empat T.ABC tegak lurus pada alas. TA dan BC masing-masing 8 cm dan 6 cm. Jika P titik tengah TB, Q titik tengah TC dan R titik tengah AB, dan bidang yang melalui ketiga titik P, Q, dan R memotong rusuk AC di S, maka luas PQRS adalah …

.   (A) 24 cm2

 

.   (B) 20 cm2

.   (C) 18 cm2

.   (D) 16 cm2

.   (E) 12 cm2

 

7.  Garis g tegak lurus bidang v dan bidang w membentuk sudut lancip dengan bidang v. Jika w memotong v menurut suatu garis s, maka proyeksi g pada w …

.   (A)   Tegak lurus pada v

.   (B)   Tegak lurus pada s

.   (C)   Bersilang tegak lurus dengan g

.   (D)  Sejajar dengan v

.   (E)   Sejajar dengan s

 

8. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jika titik P pada CG dan Q pada DH dan CP = DQ = 1 cm, maka bidang PQEF mengiris kubus tersebut menjadi dua bagian. Volume bagian yang lebih besar adalah

.   (A) 36 cm3

.   (B) 38 cm3

.   (C) 40 cm3

.   (D) 42 cm3

.   (E) 44 cm3

 

9. Sebuah piramida tegak T.ABCD mempunyai alas bujursangkar ABCD dengan luas 100 cm2 dan panjang rusuk tegaknya 13 cm. Jika x adalah sudut antara bidang TAB dan bidang TCD maka sin 0,5x = …

.   (A) 1/2

.   (B) 5/12

.   (C) 5/13

.   (D) 6/13

.   (E) 5/√119