Barisan Dan Deret

Deret Dan Trigonometri

Seringkali soal-soal deret geometri menggunakan trigonometri. Jika kita memahami deret, tapi trigonometrinya belum dikuasai, nantinya juga akan kesulitan. Jika kita memahami trigonometrinya tapi deretnya belum paham maka kita juga kesulitan mengerjakannya. Untuk itulah penting sekali kita memahami keduanya.

Agar lebih jelas, berikut akan saya bahas beberapa soal yang berkaitan dengan deret geometri tak hingga dan trigonometri

 

Contoh soal 1 :

Jika 0 < x < Π maka jumlah dari

sin x + sin x cos x + sin x cos2 x + sinx cos3 x + ….

adalah

deret dan trigonometri

deret dan trigonometri

Jawab :

Deret tersebut adalah deret geometri tak hingga sehingga harus menggunakan rumus jumlah

deret geo tak hingga

maka kita membutuhkan nilai a dan r

a = suku pertama = U1 = sin x

rasio sin

Sehingga

S tak hingga

Hasil ini tidak ada di pilihan, ….. tapi jangan berburuk sangka kalau soal salah. Di sini masih bisa kita kali dengan sekawan

S tak hingga trigono

 

Jadi jawaban yang sesuai adalah D

 

Contoh soal 2 :

Jika –Π/2 < x < Π/2 maka jumlah dari

cos x + cos x sin x + cos x sin2 x + cos x sin3 x + ….

adalah

(A) (B) (C)

(D) (E) sec x + tan x

 

Jawab :

a = suku pertama = U1 = sin x

tentu saja hasil ini tidak ada di pilihan, sehingga harus kita kali dengan sekawan

 

Contoh Soal 3 :

Jika 0 < x < Π/2 , maka

sin x + cos x + sin3 x + cos3 x + sin5 x + cos5 x + …..

adalah ….

Jawab :

Sebenarnya deret di soal ini bukan deret geometri, tetapi merupakan jumlah dari 2 deret geometri yang berbeda rasionya.

deret geometri pertama adalah

sin x + sin3 x + sin5 x + …..

maka jumlahnya

deret geometri kedua adalah

cos x + cos3 x + cos5 x + …..

maka jumlahnya

Dengan demikian jumlahnya menjadi

 

Contoh Soal 4 :

Jika –Π/2 < x < Π/2 maka hasil dari

adalah ….

Jawab :

a = 1

r = – tan2 3x

 

Contoh Soal 4 :

Jika jumlah dari deret

1 + log sin x + log2 sin x + log3 sin x + log4 sin x + ……

adalah S maka batas-batas nilai S adalah …

Jawab :

a = 1

r = log sin x

sinus bernilai paling kecil –1 dan paling besar 1 sehingga

…………………..(1)

 

pada deret geometri tak hingga maka

–1 < r < 1

–1 < log sin x < 1

10– 1 < sin x < 101

0,1 < sin x < 10 ………………..(2)

Dari (1) dan (2) diproleh

Maka

Saat sin x = 0,1

Saat sin x = 1

Jadi, batas-batas nilai S adalah

Deret Yang Memakai Logaritma

Deret Yang Memakai Logaritma

 

Jika setiap suku pada deret geometri diberi logaritma maka akan terbentuk deret aritmetika. Namun tidak setiap deret yang mengandung logaritma merupakan deret aritmetika.

 

Jika kita memiliki barisan bilangan

10, 100, 1000, 10.000, 100.000, ……. dan seterusnya

Maka sudah dipastikan bahwa barisan ini merupakan barisan geometri

Jika setiap suku barisan ini kita beri log maka akan berubah menjadi barisan aritmetika

 

Berikut ini adalah barisan aritmetikanya

log 10, log 100, log 1000, log 10.000, log 100.000, …dst

atau

1, 2, 3, 4, 5, …..dst

 

Jika ada barisan bilangan

2, 8, 32, 128, 512, …..dst

Maka sudah dipastikan bahwa barisan ini merupakan barisan geometri

Jika setiap suku diberi 2log maka akan menjadi barisan aritmetika

 

Berikut ini adalah barisan aritmetikanya

2log 2, 2log 8, 2log 32, 2log 128, 2log 512, …..dst

atau

1, 3, 5, 7, 9, …dst

 

Sekarang kita coba dengan bentuk umum barisan geometri

a, ar, ar2, ar3, ar4, ar5, ar6, ……dst

Jika setiap suku diberi log maka akan terbentuk barisan aritmetika

 

 

Berikut ini adalah barisan aritmetikanya

log a, log ar, log ar2, log ar3, log ar4, log ar5, log ar6, ……

atau

log a , log a + log r, log a + log r2, log a + log r3, log a + log r4, log a + log r5, ….

atau

log a, log a + log r, log a + 2log r, log a + 3log r, log a + 4log r, log a + 5log r, ….

Hasil terakhir tampak sebagai barisan aritmetika dengan suku pertama log a dan beda log r.