Archive for Barisan Dan Deret

Deret Maclaurin Sinus

Setiap fungsi bisa dinyatakan dengan deret maclaurin, tidak ketinggalan juga untuk fungsi sinus

Bentuk umum deret maclaurin untuk fungsi f(x) adalah

Misalkan kita memiliki fungsi f(x) = sin x maka

f(x) = sin x  —–> f(0) = 0

f ‘(x) = cos x  —–> f ‘(0) = 1

f ”(x) = – sin x  —–> f ”(0) = 0

f ”'(x) = – cos x  —–> f ”'(0) = –1

f(4) (x) = sin x  —–> f(4) (0) = 0

f(5) (x) = cos x  —–> f(5) (0) = 1

f(6) (x) = – sin x  —–> f(6) (0) = 0

f(7) (x) = – cos x  —–> f(7) (0) = –1

………………….

dan seterusnya

karena nilai f(0), f”(0), f(4) (x), f(6) (x) masing-masing bernilai 0 maka bentuk deret maclaurin bisa kita tulis menjadi

Your ads will be inserted here by

Easy Plugin for AdSense.

Please go to the plugin admin page to
Paste your ad code OR
Suppress this ad slot.

Dengan mengganti f(x) dengan sin x serta nilai saat x = 0 maka bentuknya menjadi

atau

 

Nilai-nilai x yang dipakai di sini adalah dalam radian, bukan dalam derajat. Dengan mengetahui deret maclaurin sinus ini, kita makin bisa memahami mengapa kalkulator bisa menghitung nilai sinus begitu cepat.

Deret maclaurin ini bisa juga dipakai membantu menghitung limit trigonometri saat x mendekati nilai nol.

 

Apa jadinya jika deret macalurin di atas kita turunkan ?

Ruas sebelah kiri adalah sinus , sehingga turunannya adalah cosinus, sementara ruas kanan tinggal menggunakan aljabar biasa. Dengan demikian hasilnya menjadi

atau

Inilah deret maclaurin cosinus

 

 

Deret Maclaurin

Misalkan kita memiliki polinom derajat 5 sebagai berikut

P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f

Maka P(0) = f

Jika fungsi ini kita turunkan beberapa kali dan setiap diturunkan kita subtitusi x dengan 0 maka

P’(x) = 5ax4 + 4bx3 + 3cx2 + 2dx + e  —> P'(0) = e

P’’(x) = 20ax3 + 12bx2 + 6cx + 2d —> P”(0) = 2d

P’’’(x) = 60ax2 + 24bx + 6c —> P”'(0) = 6c

P(4)(x) = 120ax + 24b —> P(4)(4) (0) = 24b

P(5)(x) = 120a —> P(5)(0) = 120a

Dengan demikian, masing-masing koefisien bisa kita tulis menjadi

f = P(0) ;  e = P’(0)   ;  d = ½ P’’(0)    ;   c = ⅙ P’’’(0)   ;

b = 1/24. P(4) (0)   ;    a = 1/120. P(5) (0)

 

Fungsi P(x) bisa kita tulis dengan mengubah urutannya sebagai berikut :

P(x) =  f + ex + dx2  + cx3 + bx4  + ax5

dengan mengganti koefisien a, b, c, d, e, dan f maka kita peroleh

 

 

Andaikan P(x) adalah polinom derajat 6 maka kita peroleh

 

Seandainya P(x) adalah polinom derajat 7 maka kita peroleh

 

dan seterusnya.

Bentuk terakhir ini bisa juga kita tulis menjadi

 

Secara umum, kita bisa menuliskannya menjadi

Inilah yang dimaksud dengan deret maclaurin.