Archive for omson

Deret Maclaurin Tangen

Deret maclaurin untuk tangen  agak berbeda dengan deret maclaurin pada sinus dan cosinus. Pada sinus dan cosinus, deret maclaurinnya terlihat teratur. Pada tangen, deret maclaurinnya kurang begitu teratur nilai koefisiennya. Untuk menentukan deret maclaurin tangen kita bisa melakukan pembagian deret maclaurin sinus dengan deret maclaurin cosinus. Hal ini mengingat bahwa tan x = (sin x) / (cos x).

Akan tetapi di sini kita akan membahas deret maclaurin tangen dengan menggunakan bentuk umum. Bentuk umum deret maclaurin adalah sebagai berikut

Jika kita memilih f(x) = tan x maka harus kita cari dulu turunan-turunannya.

Turunan pertama

f ‘(x) = sec2 x = tan2 x + 1

Jika kita turunkan lagi maka

f ’’(x) = 2tan x sec2 x  = 2 tan x (tan2 x + 1) = 2tan3 x + 2 tan x

Sekarang kita turunkan lagi untuk mendapakan turunan ketiga

f’’’(x) = 6tan2 x sec2 x + 2 sec2 x = 6tan2 x (tan2 x + 1) + 2(tan2 x + 1)

= 6tan4 x + 6tan2 x + 2tan2 x + 2 = 6tan4 x + 8 tan2 x + 2

Sekarang kita turunkan lagi untuk mendapakan turunan keempat

f(4) (x) =  24tan3 x sec2 x + 16tan x sec2 x

= 24tan3 x (tan2 x + 1) + 16tan x (tan2 x + 1)

= 24tan5 x + 24tan3 x + 16tan3 x + 16tan x

= 24tan5 x + 40tan3 x + 16tan x

Sekarang kita turunkan lagi untuk mendapakan turunan keempat

f(5) (x) =  120tan4 x sec2 x + 120tan2 x sec2 x + 16sec2 x

=  120tan4 x (tan2 x + 1) + 120tan2 x (tan2 x + 1) + 16(tan2 x + 1)

= 120tan6 x + 120tan4 x + 120tan4 x + 120tan2 x + 16tan2 x + 16

= 120tan6 x + 240tan4 x + 136tan2 x + 16

 

Sekarang masing-masing fungsi kita subtitusi dengan x = 0, sehingga

f(0) = 0          f'(0) = 1          f”(0) = 0

f”'(0) = 2       f(4) (0)= 0        f(5) (0) = 16

Dengan mensubtitusikan nilai-nilai ini maka kita peroleh deret maclaurin untuk tan x adalah sebagai berikut

Deret Maclaurin Cosinus

Seperti fungsi sinus, kita juga bisa membuat deret maclaurin untuk cosinus. Sebelumnya kita lihat dulu bentuk umum deret maclaurin. Setiap fungsi f(x) bisa dinyatakan dengan deret maclauin sebagai berikut

Sekarang untuk fungsi f(x) = cos x, kita bisa mencari turunannya sekaligus menentukan nilainya saat x = 0

f(x) = cos x  —–> f(0) = 1

f ‘(x) = – sin x  —–> f ‘(0) = 0

f ”(x) = – cos x  —–> f ”(0) = –1

f ”'(x) = sin x  —–> f ”'(0) = 0

f(4) (x) = cos x  —–> f(4) (0) = 1

f(5) (x) = – sin x  —–> f(5) (0) = 0

f(6) (x) = – cos x  —–> f(6) (0) = –1

f(7) (x) =  sin x  —–> f(7) (0) = 0

…………………………………..

dan seterusnya

Bentuk umum deret maclaurin di atas bisa kita hilangkan suku-suku yang mengandung x pabgkat ganjil, karena pada bagian ini dikalikan dengan nol, sehingga bentuknya menjadi

Dengan mensubtitusikan nilai f(0), f”(0),  f(4) (0), dan f(6) (0) serta mengganti f(x) dengan cos x maka

Jika kita tambahkan satu suku menjadi

atau

Jadi kalau anda masih bingung mengapa kalkulaor bisa dengan mudah menghitung niai cosinus, lihatlah deret maclaurin cosinus ini.

Sekarang jika kita turunkan rumus deret maclaurin di atas, menurutmu akan menjadi apa ? Bagian kiri berupa cos x, maka jika diturunkan akan menjadi – sin x, sedangkan ruas kanan bisa diturunkan dengan aljabar biasa (turunan pangkat). Hasil dari turunan adalah sebagai berikut

atau

Jika kedua rus dikali dengan –1 maka diperoleh

Inilah deret maclaurin sinus.

Deret maclaurin cosinus ini bisa dipakaiuntuk membantu menyelesaikan limit trigonometri untuk x mendekati nol