Akar-akar Rasional Suku Banyak

Misalkan kita memiliki persamaan suku banyak

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ….+ a2xn + a1x + ao = 0

Untuk mencari akar-akar rasional suku banyak maka maka kita harus bisa memfaktorkannya. Untuk itu ada beberapa hal yang harus kita cek.

1. Jika ao = 0 maka salah satu akar suku banyak adalah 0 .

2. Jika jumlah koefisisen suku banyak adalah 0 maka satu akar suku banyak adalah 1 (suku banyak bisa dibagi  x – 1)

3. Jika jumlah koefisien x yang berpangkat genap sama denga jumlah koefisin x yang berpangkat ganjil maka satu akar suku banyak adalah -1 (suku banyak bisa dibagi  x + 1)

4. Jika langkah nomor 1, 2, dan 3 sudah tidak bisa dilakukan maka bagilah suku banyak dengan x – k dengan k adalah faktor dari ao

5. Jika langkah nomor 4 sudah tidak bisa dilakukan maka bagilah suku banyak dengan x – m  dengan m  adalah faktor dari ao/an .

Catatan : Jika kita mengerjakan satu langkah, dan menemukan akar yang besarnya p maka suku banyak yang kita kerjakan pada langkah selanjutnya adalah suku banyak yang sudah dibagi dengan x – p

 

 

Contoh soal 1 :

Tentukan akar-akar rasional suku banyak

x4 – 6x3 + 11x2 – 6x = 0

Jawab :

Nilai ao = 0 maka salah satu akarnya adalah 0 sehingga

x(x3 – 6x2 + 11x – 6) = 0

Sekarang kita selesaiakan polinom derajat 3 yang ada di dalam kurung

jumlah koefisien 1 – 6 + 11 – 6 = 0 sehingga salah astu akarnya adalah 1, maka suku banyak kita bagi dengan x – 1

suku banyak

dengan demikian suku banyak bisa difaktorkan menjadi

x(x – 1)(x2 – 5x + 6) = 0

x(x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0

x = 0 atau x = 1 atau x = 2 atau x = 3

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {0, 1, 2, 3}

 

Contoh soal 2 :

Tentukan akar-akar rasional suku banyak

x5 – 4x4  – 3x3 + 10x2 + 8x = 0

Jawab :

Nilai ao = 0 maka salah satu akarnya adalah 0 sehingga

x(x4 – 4x3  – 3x2 + 10x + 8)=0

Sekarang kita selesaiakan polinom derajat 4 yang ada di dalam kurung

Jumlah koefisien adalah

1 – 4 – 3 + 10 + 8 = 12 (tidak nol) sehingga polinom tidak bisa dibagi oleh x – 1

Jumlah koefisien x pangkat genap = 1 – 3 + 8 = 6

Jumlah koefisien x pangkat ganjil = -4 + 10 = 6

Jumlah koefisien x pangkat genap =Jumlah koefisien x pangkat ganjil sehingga polinom bisa dibagi oleh x + 1

Cara horner

 

Suku banyak menjadi

x(x+1)(x3  – 5x2 + 2x + 8)=0

Sekarang kita selesaiakan polinom derajat 3 yang ada di dalam kurung

Jumlah koefisien x pangkat ganjil = 1 + 2 = 3

Jumlah koefisien x pangkat genap = -5 + 8 = 3

Jumlah koefisien x pangkat genap =Jumlah koefisien x pangkat ganjil sehingga polinom bisa dibagi oleh x + 1

pembagian horner

 

suku banyak menjadi

x(x + 1)(x + 1) (x2 – 6x + 8) = 0

Selanjutnya kita faktorkan menjadi

x(x + 1)(x + 1)( x – 2)(x – 4) = 0

x = 0 atau x = -1 atau x = 2 atau x = 4

Jadi himpunan penyelesaiannya {-1, 0, 2, 4}

 

 Contoh Soal 3 :

Tentukan akar-akar rasional suku banyak

x4  – 7x3 + 8x2 + 28x – 48 = 0

Jawab :

Nilai ao = -48, jadi suku banyak tidak memiliki akar bernilai 0

Jumlah koefisien 1 – 7 + 8 + 28 – 48 = -18 (karena jumlah koefisien tidak 0 maka suku banyak tidak memiliki akar bernilai 1)

Jumlah koefisien x berpangkat genap = 1 + 8 – 48 = -39

Jumlah koefisien x berpangkat ganjil = -7 + 28 = 21

Karena koefisien x berpangkat genap tidak sama dengan jumlah koefisien x berpangkat ganjil maka suku banyak tidak memiliki akar bernilai -1

Sekarang kita cari akar-akar dari faktor -48

48 = 1×48 = 2 x 24 = 3 x 16 = 4 x 12 = 6 x 8

Jadi kita coba x = 2

Pembagian suku banyak

Jadi suku banyak bisa kita faktorkan menjadi

(x – 2)(x3 – 5x2 – 2x + 24) =0

Selanjutnya kita suku banyak derajat 3 kita bagi lagi dengan x – 2

Pembagian cara horner

Karena sisa = 8 (bukan 0) maka pembagian ini gagal, jadi kita pilih x = -2

Membagi polinom

Jadi, suku banyak bisa kita tulis menjadi

(x – 2)(x + 2)(x2 – 7x + 12) = 0

Bagian persamaan kuadrat bisa difaktorkan lagi sehingga

(x – 2)(x + 2)(x – 3)(x – 4) = 0

Jadi

x = 2 atau x = -2 atau x = 3 atau x = 4

Maka himpunan penyelesaiannya adalah

{-2, 2, 3, 4}

 

Contoh Soal 4 :

Himpunan penyelesaian dari persamaan

x5 – 2x4  – 16x3 + 19x2 + 58x – 24 = 0

Jawab :

Nilai ao = -24 (bukan 0) jadi suku banyak tidak memiliki akar bernilai 0.

Jumlah koefisien = 1 – 2 – 16 + 19 + 58 – 24 = 36 (bukan 0) sehingga suku banyak tidak memiliki akar bernilai 1

Jumlah koefisien x pangkat ganjil = 1 – 16 + 58 = 43

Jumlah koefisien x pangkat genap = -2 + 19 – 24 = – 7

Jumlah koefisien x pangkat ganjil tidak sama dengan jumlah koefisien x pangkat genap sehingga suku banyak tidak memiliki akar bernilai -1

Selanjutnya akar kita cari dari faktor ao = -24 yaitu {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

1 tidak usah kita pilih, karena 1 dan -1 bukan akar

Jika kita piih 2 berarti kita coba 2 dan -2, mana yang menyebabkan sisa = 0

Pembagian suku banyak

Ternyata setelah kita coba x =2 maka sisa tidak 0, ini berarti x =2 bukan akar suku banyak.

Sekarang kita coba untuk x = -2

Pembagian polinom

Ternyata sisanya = 0, ini berarti x = -2 merupakan akar.

Sekarang suku banyak bisa kita tulis menjadi

(x + 2)(x4  – 4x3 – 19x2 + 58x – 24) = 0

sekarang x4  – 4x3 – 19x2 + 58x – 24 kita bagi dengan x + 3 sehingga diperoleh

Pembagian horner

Ternyata sisanya 0, ini berarti x = -3 merupakjan akar suku banyak, sekarang suku banyak bisa difaktorkan menjadi

(x + 2)(x + 3)(x3 – 7x2 + 13x – 4) = 0

Selanjutnya x3 – 7x2 + 13x – 4 kita bagi dengan x – 4

Suku Banyak Metoda horner

Sekarang suku banyak bisa difaktorkan menjadi

(x + 2)(x + 3)(x – 4)(x2 – 3x + 1) = 0

Bagian x2 – 3x + 1 = 0 harus kita selesaiakan dengan rumus ABC sehingga

Dengan demikian nilai x yang memenuhi persamaan suku banyakadalah

x = -2, x = -3, x = 4,  dan 

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

 

Contoh Soal 5 :

Himpunan penyelesaian dari persamaan

6x6 – 43x5 + 103x4  – 92x3 + 47x2 – 99x + 90 = 0

adalah …

Jawab :

Dari hasil pengecekan bentuk di atas tidak memiliki akar -1, 0 ataupun 1. Setelah kita cek, ternyata nilai x bulat yang memenuhi adalah 2 dan 3

Pembagian suku banyak

Selanjutnya hasil baginya kita bagi dengan x – 3

pembagian dengan horner

Jadi persamaan bisa ditulis menjadi

(x – 2)(x – 3)(6x4  – 13x3 + 2x2 – 4x + 15) = 0

selanjutnya kita mencari akar persamaan 6x4  – 13x3 + 2x2 – 4x + 15 = 0

konstanta 15 memiliki faktor {1, 3, 5, 15}. Akan tetapi semua nilai tidak ada yang memenuhi.

Selanjutnya kita gunakan faktor dari 15/6 yaitu {1/6, 3/6, 5/6, 15/6, 1/3, 3/3, 5/3, 15/3, 1/2, 3/2, 5/2, 15/2,}

Setelah kita coba, yang memenuhi adalah 3/2 dan 5/3

pembagian polinom

selanjutnya 6x3 – 4x2 – 4x – 10 juga kita bagi

pembagian polinom pakai horner

Jadi jika kita tulis semua pemfaktoran

atau bisa juga menjadi

(x – 2)(x – 3)(2x – 3)(3x – 5)(x2 + x + 1) = 0

jadi

x = 2 , x = 3, x = 3/2 dan x = 5/3

Sedangkan persamaan x2 + x + 1 = 0 tidak memiliki akar real

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

{3/2, 5/3, 2, 3}

 

Comments are closed.