Archive for August 27, 2016

Pergeseran Hiperbola

Hiperbola dengan pusat (0,0) memiliki persamaan

Hiperbola horizontal :

Hiperbola vertikal :

Jika hiperbola kita geser ke kanan sejauh p dan ke atas sejauh q maka persamaannya menjadi

Hiperbola horizontal :

Hiperbola vertikal :

 

Semua aturan pada hiperbola

  • Tidak ada aturan mana yang lebih besar di antara a dan b
  • a2 berada di area yang berkoefisien positif
  • b2 berada di area yang berkoefisien negatif
  • a2 + b2 = c2
  • jarak pusat ke puncak = a
  • jarak pusat ke fokus = c
  • jarak antar puncak 2a
  • jarak antar fokus = 2c
  • eksentrisitas e = c/a
  • jarak pusat ke persamaan direktris = a/e

 

Contoh soal 1 :

Diketahui hiperbola

Tentukan

  • Jarak pusat ke puncak
  • Jarak pusat ke fokus
  • Jarak antara 2 puncak
  • Jarak antara 2 fokus
  • Koordinat titik pusat
  • Koordinat titik puncak
  • Koordinat titik fokus
  • Eksentrisitas
  • Panjang latus rectum
  • Persamaan asimtot
  • Persamaan direktris

 

Jawab :

a2 = 9 maka a = 3

b2 = 16 maka b = 4

akibatnya

c2 = a2 + b2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25

maka c = 5

  • Jarak pusat ke puncak = a = 3
  • Jarak pusat ke fokus = c = 5
  • Jarak antara 2 puncak = 2a = 6
  • Jarak antara 2 fokus = 2c = 10
  • Koordinat titik pusat (–2, 3)
  • Koordinat puncak (1, 3) dan (–5, 3)

Untuk menentukan koordinat puncak kita bisa menggunakan bantuan gambar sebagai berikut

pergeseran-hiperbola-menentukan-puncak

Untuk menentukan puncak bagian kanan, absis titik pusat kita tambah dengan a = 3, sehingga menjadi

–2 + 3 = 1  maka puncaknya (1, 3)

Untuk menentukan puncak bagian kiri, absis titik pusat kita kurangi dengan a = 3, sehingga menjadi

–2 – 3 = –5  maka puncaknya (–5, 3)

 

 

  • Koordinat fokus (3, 3) dan (–7, 3)

Untuk menentukan koordinat fokus kita bisa menggunakan bantuan gambar sebagai berikut

 

pergeseran-hiperbola-menentukan-fokus

Untuk menentukan fokus bagian kanan, absis titik pusat kita tambah dengan c = 5, sehingga menjadi

–2 + 5 = 3  maka fokusnya f1(3, 3)

Untuk menentukan fokus bagian kiri, absis titik pusat kita kurangi dengan c = 5, sehingga menjadi

–2 – 5 = –7  maka fokusnya f2(–7,3)

 

  • Ekentrisitas e = c/a = 5/3
  • Panjang Latus rectum = 2b2/a = 2.42/5 = 32/5 = 6,4
  • Persamaan asimtot

Cara termudah untuk mencari persamaan asimtot tanpa memakai rumus adalah dengan mengubah bilangan 1 pada persamaan hiperbola dengan 0

Persamaan hiperbola :

Persamaan asimtotnya adalah

Jika kita pilih bagian positif

3y – 9 = 4x + 8

4x – 3y + 17 = 0

Jika kita pilih yang negatif

3y – 9 = – (4x + 8)

3y – 9 = –4x – 8

4x + 3y –  1 = 0

Jadi persamaan asimtottnya ada 2, yaitu 4x – 3y + 17 = 0 dan 4x + 3y –  1 = 0

 

  • Persamaan direktris

Jarak pusat ke direktris adalah

Unuk menentukan persamaan direktrisnya, perhatikan gambar berikut :

pergeseran-hiperbola-menentukan-direktris

 

 

 

 

Your ads will be inserted here by

Easy Plugin for AdSense.

Please go to the plugin admin page to
Paste your ad code OR
Suppress this ad slot.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Puncak adalah (– 2, 3) sehingga absisnya adalah x = –2

Untuk direktris 1 (bagian kanan) maka nilai absis puncak ditambah 9/5

Untuk direktris 1 (bagian kiri) maka nilai absis puncak dikurangi 9/5

Jadi persamaan direkrisnya adalah  dan 

 

Contoh soal 2 :

Diketahui hiperbola

Tentukan

  • Jarak pusat ke puncak
  • Jarak pusat ke fokus
  • Jarak antara 2 puncak
  • Jarak antara 2 fokus
  • Koordinat titik pusat
  • Koordinat titik puncak
  • Koordinat titik fokus
  • Eksentrisitas
  • Panjang latus rectum
  • Persamaan asimtot
  • Persamaan direktris
Jawab :

a2 = 36 maka a = 6

b2 = 64 maka b = 8

akibatnya

c2 = a2 + b2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100

maka c = 10

  • Jarak pusat ke puncak = a = 6
  • Jarak pusat ke fokus = c = 10
  • Jarak antara 2 puncak = 2a = 12
  • Jarak antara 2 fokus = 2c = 20
  • Koordinat titik pusat (5, –4)
  • Koordinat puncak (5, 2) dan (5, –10)

 

pergeseran-hiperbola-menentukan-puncak-vertikal

Untuk menentukan puncak bagian atas, ordinat titik pusat kita tambah dengan a = 6, sehingga menjadi

–4 + 6 = 2  maka puncaknya (5, 2)

Untuk menentukan puncak bagian bawah, ordinat titik pusat kita kurangi dengan a = 6, sehingga menjadi

–4 – 6 = –10  maka puncaknya (5, –10)

 

  • Koordinat titik fokus f1(5, 6) dan f2(5, – 14)

pergeseran-hiperbola-menentukan-fokus-vertikal

Untuk menentukan fokus bagian atas, ordinat titik pusat kita tambah dengan c = 10, sehingga menjadi

–4 + 10 = 6  maka fokusnya (5, 6)

Untuk menentukan fokus bagian bawah, ordinat titik pusat kita kurangi dengan c = 10, sehingga menjadi

–4 – 10 = –14  maka fokusnya (5, –14)

  • Eksentrisitas e = c/a = 10/6 = 5/3
  • Panjang latus rectum = 2b2/a = 2.82/10 = 128/10 = 12,8
  • Persamaan asimtot

Cara termudah untuk mencari persamaan asimtot tanpa memakai rumus adalah dengan mengubah bilangan 1 pada persamaan hiperbola dengan 0

Persamaan hiperbola :

Persamaan asimtotnya adalah

64(y + 4)2 = 36(x – 5)2

Jika diakarkan maka

8(y + 4) =  6(x – 5)

8(y + 4) = 6(x – 5) atau 8(y + 4) = –6(x – 5)

8y + 32 = 6x – 30 atau 8y + 32 = –6x + 30

6x – 8y – 62 = 0 atay 6x + 8y + 2 = 0

 

Persamaan direktris

Jarak pusat ke direktris adalah

direktris-hiperbola-vertikal

maka persamaan direktrsinya

y = – 4 + 3,6 = – 0,4

dan

y = –4 – 3,6 = – 7,6