Archive for June 21, 2016

Irisan Kerucut Hiperbola

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap 2 titik tertentu adalah sama

Hiperbola

Yang dimaksud 2 titik tertentu adalah titik fokus. Jadi pada hiperbola ada 2 titik fokus, sebut saja f1 dan f2. Jika kita pilih titik P terletak pada kurva hiperbola, maka sekalipun titik P dipindah-pindah, asalkan P masih pada kurva hiperbola maka berlaku

Pf1 – Pf2 = konstan

Persamaan Hiperbola

Pada pembahasan kali ini akan kita buat 2 macam hiperbola, yaitu hiperbola horizontal dan hiperbola vertikal

1. Hiperbola horizontal

2. Hiperbola vertikal

Pada hiperbola selalu berlaku

a2 + b2 = c2

Tidak seperti elips, pada elips a >b, tetapi pada hiperbola tidak ada aturan ini. Kita bisa menentukan mana a dan b, jika ruas kanan sudah bernilai 1. Jika koefisien x2 positif maka di bawah x2 adalah a2 dan di bawah y2 adalah b2. Jika koefisien x2 negatif maka di bawah x2 adalah b2 dan di bawah y2 adalah a2.

Contoh soal 1 :

Tentukan nilai a ,b, dan jenis elips dari persamaan berikut

a. 

b. 

c. 

d. 

e. 

f. 

g. 

Jawab :

a. 

a2 = 25 maka a = 5

b2 = 9 maka b = 3

Jenis elips horizontal

 

b. 

a2 = 49 maka a = 7

b2 = 64 maka b = 8

Jenis elips horizontal

 

c. 

Your ads will be inserted here by

Easy Plugin for AdSense.

Please go to the plugin admin page to
Paste your ad code OR
Suppress this ad slot.

Jenis elips vertikal

a2 = 9 maka a = 3

b2 = 36 maka b = 6

 

d. 

a2 = 81 maka a = 9

b2 = 64 maka b = 8

Jenis elips vertikal

 

e. 

Jika kedua ruas dibagi dengan – 1 maka

atau

a2 = 25 maka a = 5

b2 = 64 maka b = 8

Jenis elips vertikal

 

f. 

Jika kedua ruas dibagi dengan – 2 maka

atau

a2 = 16 maka a = 4

b2 = 100 maka b = 10

Jenis elips horizontal

 

g. 

Jika kedua ruas dibagi dengan 576 maka

a2 = 64 maka a = 8

b2 = 36 maka b = 6

Jenis elips horizontal

 

Garis Singgung Elips Dengan Gradien m

Persamaan garis singgung pada elips dengan gradien m bisa kita hitung dengan menggunakan diskriminan. Akan tetapi pada bahasan ini kita gunakan rumus-rumus agar lebih cepat menghitungnya.

Berikut ini adalah rumus-rumus yang diberikan

garis singgung elips dengan gradien m

Dengan ketentuan a > b

Untuk lebih jelasnya kita kita lihat contoh-contoh berikut

 

Contoh Soal 1

Tentukan persamaan garis singgung elips  yang bergradien 1

Jawab :

m = 1, a2 = 6, dan b2 = 3

Persamaan garis singgungnya bisa ditulis sebagai berikut

maka

Jadi, garis singgungnya adalah y = x + 3 dan y = x – 3

 

Contoh Soal 2 :

Tentuka persamaan garis singgung pada elips  dengan gradien –1

Jawab :

m = – 1, b2 = 4, dan a2 = 12

Persamaan garis singgungya bisa ditulis

Jadi

Jadi, persamaan garis singgungnya y = – x + 4 dan y = – x – 4

 

Contoh Soal 3 :

Tentukan persamaan garis singgung elips  dengan gradien 1/6

Jawab :

m = 1/6 , a2 = 40, dan b2 = 10

Karena pusat elips (–1, 3) maka persamaan garis singgungnya

Jika kita pilih yang positif maka

6y – 18 = x + 1 + 20

–x + 6y – 39 = 0

x – 6y + 39 = 0

Jika kita pilih yang negatif maka

6y – 18 = x + 1 – 20

–x + 6y + 1 = 0

x – 6y – 1 = 0

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah x – 6y + 39 = 0 dan x – 6y – 1 = 0

 

Contoh Soal 4 :

Tentukan persamaan garis singgung pada elips  yang bergradien 9

Jawab :

m = 9, b2 = 10, dan a2 = 90

Karena pusat elips (2, –3) maka persamaan garis singgungnya adalah

Jika kita pilih yang positif maka

Jika kita pilih yang negatif maka

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah

y = 9x + 9 dan y = 9x – 51

 

Contoh Soal 5 :

Tentukan persamaan garis singgung elips  yang tegak lurus dengan garis y = 2x + 5

Jawab :

Garis y = 2x + 5 memiliki gradien m1 = 2

Karena garis ini tegak lurus dengan garis singgung maka berlaku

m1.m2 = –1

2m2 = –1

m2 = – ½

Selanjutnya gradien yang kita pakai adalah m = m2 = – ½

dari elips diperoleh b2 = 9, dan a2 = 18

Maka persamaan garisnya adalah

Jadi persamaan garis singgungnya adalah x + 2y + 9 = 0 dan x + 2y – 9 = 0

 

Contoh Soal 6 :

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva  yang membentuk sudut 45o dengan sumbu x positif

Jawab :

a2 = 20 , b2 = 5, dan m = tan 45o = 1

Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = x + 5 dan y = x – 5

 

Contoh Soal 7 :

Tentukan persamaan garis singgung elips  yang ditarik dari (6, –1)

Jawab :

a2 = 8 dan b2 = 2

Titik (6, –1) ada di luar kurva

Persamaan garis singgungnya bisa dicari dengan rumus

Sekarang subtitusikan titik (6, –1) sehingga

Sekarang kedua ruas dikuadratkan

36m2 + 12m + 1 = 8m2 + 2

28m2 + 12m – 1 = 0

(2m + 1)(14m – 1) = 0

m = – ½ atau m = 1/14

Nilai m ini kita subtitusikan ke 

untuk m = – ½ nilai – 6m – 1 = 3 – 1 = 2 (positif)

untuk m = 1/14 nilai – 6m – 1 = 6/14 – 1 = – 4/7 (negatif)

Untuk yang positif kita gunakan 

Untuk yang positif kita gunakan 

 

Jadi m = – ½ kita subtitusikan ke

2y = – x + 4

x + 2y – 4 = 0

 

untuk m = 1/14 kita subtitusikan ke

14y = x – 20

x – 14y – 20 = 0

 

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah x + 2y – 4 = 0 dan x – 14y – 20 = 0