Archive for November 23, 2015

Penggunaan Definit Pada Fungsi Kuadrat

Istilah definit digunakan untuk fungsi yang selalu positif atau selalu negatif. Jika definit positif maka fungsi akan selalu positif untuk nilai domain berapapun. Jika definit negatif maka fungsi akan selalu negatif untuk nilai domain berapapun.

Untuk fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c , kondisi definit dialami ketika D < 0 dengan D = b2 – 4ac

Definit positif terjadi jika a > 0 dan D < 0

Definit negatif terjadi jika a < 0 dan D < 0

 

Contoh soal 1 :

Nilai k agar fungsi kuadrat f(x) = (k+1)x2  – (4k+10)x + 5k+17 definit positif adalah ….

Jawab :

Agar definit positif maka (a > 0 dan D < 0)

a > 0

k+1> 0

k > –1 …………………………….(1)

D < 0

b2 – 4ac < 0

(4k+10)2 – 4(k+1)(5k+17) < 0

16k2  + 80k + 100 – 4(5k2 + 17k + 5k + 17) < 0

16k2  + 80k + 100 – 20k2 – 68k – 20k – 68 < 0

–4k2  – 8k + 32 < 0

k2  + 2k – 8 > 0

(k + 4)(k – 2) > 0

garis bilangan

Jika hasil ini diiriskan dengan pertidaksamaan (1) maka

garis bilangan irisan

Jadi k > 2

 

Contoh Soal 2 :

Agar bentuk (n – 1)x2  + (10 – 6n)x + 10n – 22 <0 untuk setiap x real maka nilai n adalah …

Jawab :

< 0 untuk setiap x real, berarti definit negatif

Maka (a < 0 dan D < 0)

a < 0

n – 1 < 0

n < 1 ……………………………..(2)

D < 0

(10 – 6n)2  – 4(n – 1)(10n – 22) < 0

(10 – 6n)2  – 4(10n2  – 32n + 22) < 0

100 – 120n + 36n2  – 40n2 + 128n – 88 < 0

– 4n2 + 8n + 12 < 0

n2 – 2n – 3 > 0

(n – 3)(n + 1) > 0

garis bilangan plus minus

Jika hasil ini diiriskan dengan pertidaksamaan (2) maka

irisan garis bilangan

Jadi, n < 1

 

Contoh Soal 3 :

Agar parabola y = (m–2)x2 + 20x – 40 terletak di atas garis y = 6mx – 10m + 4 untuk setiap x real maka nilai m yang memenuhi adalah …

Jawab :

yp = (m–2)x2 + 20x – 40                     yg = 6mx – 10m + 4

 

y fungsi yang di atas > y fungsi yang di bawah

yp > yg

(m–2)x2 + 20x – 40 > 6mx – 10m + 4

(m–2)x2 + 20x – 6mx + 10m – 44 > 0

(m–2)x2 + (20 – 6m)x + 10m – 44 > 0

Bentuk ini definit positif maka

a > 0 

m–2 > 0

m > 2 ……………………………(3)

 

D < 0

(20 – 6m)2 – 4(m – 2)(10m – 44) < 0

400 – 240m + 36m2  – 4(10m2  – 64m + 88) < 0

400 – 240m + 36m2  – 40m2  + 256m – 352 < 0

–4m2 + 16m + 48 < 0

m2 – 4m – 12 < 0

(m – 6)(m + 2) < 0

garis bilangan

Jika diiriskan dengan pertidaksamaan (3) maka diperoleh

 

garis bilangan irisan

 

Jadi m > 6

 

 

Contoh Soal 4 :

Agar parabola y = (t – 5)x2 + 12x – 1 selalu terletak di bawah garis y = 4tx + 8 – 5t  untuk setiap x real maka nilai t yang memenuhi adalah …

Jawab :

yp = (t – 5)x2 + 12x – 1                     yg = 4tx + 8 – 5t

 

y fungsi yang di bawah < y fungsi yang di atas

yp < yg

 

(t – 5)x2 + 12x – 1  < 4tx + 8 – 5t

(t – 5)x2 + (12 – 4t) x + 5t – 9 < 0

Bentuk ini merupakan definit negatif (karena < 0) sehingga

 

a < 0

t – 5 < 0

t < 5 ……………………………………..(4)

 

D < 0

(12 – 4t)2 – 4(t – 5)(5t – 9) < 0

144 – 96t + 16t2  – 4(5t2 – 34t + 45) < 0

144 – 96t + 16t2  – 20t2  + 136t – 180 < 0

– 4t2 + 40t – 36 < 0

t2 – 10t + 9 > 0

(t – 1)(t – 9) > 0

garis bilangan pertidaksamaan

Jika diiriskan dengan pertidaksamaan (4) maka diperoleh

irisan garis bilangan pertidaksamaan

Jadi t < 1

 

 

 

Fungsi Kuadrat

Diskriminan Fungsi Kuadrat

Sumbu Simetri Fungsi Kuadrat

Nilai Ekstrim Fungsi Kuadrat

Menyusun Fungsi Kuadrat

Hubungan Fungsi Kuadrat Dan Garis

Hubungan Dua Fungsi Kuadrat

Koordinat Titik Puncak Fungsi Kuadrat

Lanjutan Menyusun Fungsi Kuadrat

Pergeseran Fungsi Kuadrat

Kecekungan Grafik Fungi Kuadrat

Soal Soal Fungsi Kuadrat Yang Jarang Ditemukan

Titik Titik Potong Fungsi Kuadrat

 

 

 

 

 

Titik-titik Potong Fungsi Kuadrat

Seringkali fungsi kuadrat grafiknya memotong sumbu x, sumbu y dan garis-garis tertentu. Perpotongan tersebut jika dibahas seringkali membingungkan para siswa. Berikut ini kami bahas sejelas-jelasnya tentang perpotongan tersebut. Mudah-mudahan dengan pembahasan ini banyak siswa, guru atau siapapun yang berminat mempelajari matenatika memperoleh pemahaman baru.

 

Contoh soal 1 :

Fungsi kuadart f(x) = 2x2 – (p +1) x + p + 3 memotong sumbu x pada koordinat (x1, 0) dan (x2, 0). Jika x1 + x2 = 5 maka koordinat titik potong grafik dengan sumbu y adalah …

 

Jawab :

Titik potong dengan sumbu x :

f(x) = 0

2x2 – (p +1) x + p + 3 = 0

10 = p + 1

p = 9

Jadi

f(x) = 2x2 – 10 x + 12

titik potong dengan sumbu y :

x = 0

y = f(0) = 12

Jadi koordinat titik potong dengan sumbu y adalah (0, 12)

 

 

Contoh soal 2 :

DIketahui fungsi kuadrat y = x2 + px + 3  berpotongan dengan garis y = 2x + 5q di (x1, 0) dan (x2, 0). Jika x1 + x2 = 7 dan x1.x2 = 8 maka  q –p = …

 

Jawab :

x2 + px + 3 = 2x + 5q

x2 + (p – 2) x + 3 – 5q = 0

7 = –p+2

p = –5

8=3 – 5q

5q = –5

q = –1

q – p = –1 + 5 = 4

 

Contoh Soal 3 :

Parabola y = x2  – nx + 9 dan garis y = x + m di titik (2, 5) dan ….

Jawab :

Titik (2, 5) terletak pada y = x + m

5 = 2 + m

m = 3

Titik (2, 5) juga terletak pada

y = x2  – nx + 9

5 = 4 – 2n + 9

2n = 8

n = 4

Persamaan parabola dan garis menjadi

y = x2  – 4x + 9

y = x + 3

Titik potong parabola dan garis adalah

x2  – 4x + 9 = x + 3

x2  – 5x + 6 = 0

(x – 2)(x – 3) = 0

x = 2 atau x = 3

saat x = 3 maka y = x + 3 = 3+3 = 6

Jadi, titik potong yanglain adalah (3, 6)

 

Contoh soal 4 :

Parabola y = x2  – 7x + 5 dan garis y = 2x + 19 berpotongan di A(x1, y1) dan B(x2, y2). Panjang AB = …

Jawab :

x2  – 7x + 5 = 2x + 19

x2  – 5x – 14 = 0

(x + 2)(x – 7) = 0

x = –2 atau x = 7

Untuk x1 = –2 maka y1  = 2x1 + 19 = -4 + 19 = 15

Untuk x2 = 7 maka y2  = 2x2 + 19 = 14 + 19 = 33

Panjang AB adalah

 

Contoh Soal 5 :

Garis y = 3x + 5 berpotongan dengan parabola y = –x2  + 2x + 9 di A(x1, y1) dan B(x2, y2). Panjang AB = …

Jawab :

3x + 5 = –x2  + 2x + 9

x2  + x – 4 = 0

bentuk ini sulit difaktorkan, sehingga kita gunakan rumus berikut :

Karena persamaan garis y = 3x + 5 maka

y2 = 3x2 + 5

y1 = 3x1 + 5

sehingga

y2 – y1 = 3(x2 – x1)

 

 

Fungsi Kuadrat

Diskriminan Fungsi Kuadrat

Sumbu Simetri Fungsi Kuadrat

Nilai Ekstrim Fungsi Kuadrat

Menyusun Fungsi Kuadrat

Hubungan Fungsi Kuadrat Dan Garis

Hubungan Dua Fungsi Kuadrat

Koordinat Titik Puncak Fungsi Kuadrat

Lanjutan Menyusun Fungsi Kuadrat

Pergeseran Fungsi Kuadrat

Kecekungan Grafik Fungi Kuadrat

Soal Soal Fungsi Kuadrat Yang Jarang Ditemukan

Penggunaan Definit Pada Fungsi Kuadrat