Archive for July 30, 2015

Persamaan Kubik

Bentuk umum dari persamaan kubik adalah

ax3 + bx2 + cx + d = 0  dengan a ≠ 0

Persamaan ini memiliki 3 akar

Untuk mendapatkan akarnya ada 3 cara yang bisa dilakukan

1. Memfaktorkan

2. Menyederhanakan menjadi persamaan kuadrat

3. Menggunakan rumus

 

Cara I : memfaktorkan

Cara ini biasanya hanya dipakai untuk mencar akar-akar rasional

 

Contoh soal 1 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

x3 – 7x2 + 10x  = 0

Jawab :

x3 – 7x2 + 10x  = 0

x(x2 – 7x + 10)  = 0

x(x – 2)(x – 5) = 0

x = 0 atau x = 2 atau x = 5

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {0, 2, 5}

 

Contoh soal 2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

x3 – 3x2 – 4x + 12 = 0

Jawab :

x3 – 3x2 – 4x + 12 = 0

x2 (x – 3) – 4(x – 3) = 0

(x2 – 4)(x – 3)= 0

(x – 2)(x + 2)(x – 3) = 0

x = 2 atau x = -2 atau x = 3

 

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah  {-2, 2, 3}

 

Contoh soal 3 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

x3 – 5x2 – 25x + 125 = 0

 

Jawab :

x3 – 5x2 – 25x + 125 = 0

x2 (x – 5) – 25(x – 5) = 0

(x2 – 25) (x – 5) = 0

(x – 5)(x + 5)(x – 5) = 0

x = 5 atau x = -5 atau x = 5

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah  {-5, 5}

 

Contoh soal 4 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

x3 – 5x2 – 2x + 10 = 0

Jawab :

x3 – 5x2 – 2x + 10 = 0

x2 ( x – 5) – 2(x – 5) = 0

(x2 – 2)(x – 5) = 0

   atau      atau x = 5

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

 

Contoh soal 5 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

3x3 – x2 + 6x – 2 = 0

Jawab :

3x3 – x2 + 6x – 2 = 0

x2 (3x – 1) + 2(3x – 1) = 0

(x2 + 2)(3x – 1) = 0

x2 = – 2 (tidak mungkin)

x = 1/3

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

 

Contoh Soal 6

Himpunan penyelesaian dari x3 – 8x2 + 19x – 12 = 0 adalah …

Jawab :

Karena tidak kelihatan bentuk istimewanya maka kita selesaiakn dengan metoda horner

Pembagian Horner pada persamaan kubik

Persamaan kubik bisa kita faktorkan menjadi

(x – 1)(x2 – 7x + 12) = 0

(x – 1)(x – 3)(x – 4) = 0

x = 1 atau x = 3 atau x = 4

Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {1, 3, 4}

 

Contoh Soal 7

Himpunan penyelesaian dari x3 – 6x2 + 5x + 6 = 0 adalah …

Jawab :

Untuk memecahkan soal ini akan lebih mudah jika kita gunakan metoda horner

Penyelesaian persamaan kubik dengan horner

Maka persamaan kubik bisa difaktorkan menjadi

(x – 2)(x2 – 4x – 3) = 0

x = 2 atau x2 – 4x – 3 = 0

Untuk menyelesaiakan persamaan x2 – 4x – 3 = 0 kita gunakan rumus ABC

 

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

 

 Contoh soal 8 :

Himpunan penyelesaian dari 2x3 – 3x2 + 14x + 8 = 0 adalah …

Jawab :

Sekarang kita lakukan pembagian Horner

Metoda pembagian horner

Dengan demikian kita bisa memfaktorkan menjadi

(x + ½)(2x2 – 4x + 16) = 0

atau

(2x + 1)(x2 – 2x + 8) = 0

x = -1/2 atau x2 – 2x + 8 = 0

Persamaan x2 – 2x + 8 = 0 memiliki diskriminan

D = b2 – 4ac = (-2)2 – 4.1.8 = 4 – 32 = -28

Karena D < 0 maka x2 – 2x + 8 = 0 tidak memiliki akar real

Dengan demikian himpunan penyelesaian persamaan 2x3 – 3x2 + 14x + 8 = 0 adalah

Kesamaan Suku Banyak

Dua buah suku banyak dikatakan sama jika koefisien x yang berpangkat sama besarnya adalah sama.

Misalnya

ax3 + bx2 + cx + d = px3 + qx2 + rx + s

maka berlaku

a = p

b = q

c = r

d = s

 

 

Contoh soal 1 :

Tentukan nilai a dan b yang memenuhi persamaan

 

Jawab :

Bentuk di atas bisa diolah menjadi :

Jadi

20 = a(x +1)+ b(x – 3)

20 = ax + a +bx – 3b

20 = ax + bx + a – 3b

0.x + 20 = (a + b)x + a – 3b

 

a + b = 0

a – 3b = 20    _

4b = -20 maka b = – 5

a = -b = 5

 

Contoh soal 2 :

Nilai a, b, dan c yang memenuhi persamaan

adalah …

Jawab :

Jika kedua ruas dikali dengan (x – 1)(x – 2)(x – 3) maka hasilnya adalah

4 = a(x – 2)(x – 3) + b(x – 1)(x – 3) + c (x – 1)(x – 2)

4 = a(x2 – 5x + 6) + b(x2 – 4x + 3) + c (x2 – 3x + 2)

4 = ax2 – 5ax + 6a + bx2 – 4bx + 3b + cx2 – 3cx + 2c

4 = ax2 + bx2 + cx2 – 5ax – 4bx – 3cx + 6a + 3b + 2c

4 = (a+ b + c)x2 – (5a + 4b + 3c)x + 6a + 3b + 2c

Bentuk ini bisa juga ditulis menjadi

0.x2 + 0.x + 4 = (a+ b + c)x2 – (5a + 4b + 3c)x + 6a + 3b + 2c

maka bisa disimpulkan

a + b + c = 0 …………………………………………. (1)

5a + 4b + 3c = 0……………………………………… (2)

6a + 3b + 2c = 4 …………………………………….. (3)

Persamaan (2) dikali 1 dan persamaan (1) dikali 3 maka

5a + 4b + 3c = 0

3a + 3b + 3c = 0     _

2a + b = 0 ……………………………………………(4)

Persamaan (3) dikali 1 dan persamaan (1) dikali 2 maka

6a + 3b + 2c = 4

2a + 2b + 2c = 0  _

4a + b = 4 ……………………………………………(5)

Persamaan (5) dan (4)

4a + b = 4

2a + b = 0  _

2a = 4

maka a = 2

b = -2a = -4

a + b + c = 0

2 – 4 + c = 0

c = 2

 

Cara II

Jika kedua ruas dikali dengan (x – 1)(x – 2)(x – 3) maka hasilnya adalah

4 = a(x – 2)(x – 3) + b(x – 1)(x – 3) + c (x – 1)(x – 2)

x = 1 maka 4 = a(-1)(-2) sehingga a = 2

x = 2 maka 4 = b(1)(-1) sehingga b = -4

x = 3 maka 4 = c(2)(1) sehingga c = 2

 

Contoh Soal 3 :

Agar persamaan x3 – (p + 3) x2 + (q + 1) x – (2r – 2) = 0

dan 3x3 – 15x2 + (3p + 6) x – (5q + 3) = 0

memiliki 3 akar persekutuan maka nilai r sama dengan …

 

Jawab :

Persamaan kubik memiliki tepat 3 akar. Jika ketiga akar persamaan pertama sama dengan ketiga akar persamaan kedua (3 akar persekutuan) maka berarti keduanya merupakan persamaan yang sama.

Agar koefisien x3 sama persis maka persamaan pertama dikali 3 dan persamaan kedua dikali 1

3x3 – (3p + 9) x2 + (3q + 3) x – (6r – 6) = 0

3x3 – 15x2 + (3p + 6) x – (5q + 3) = 0

maka

3p + 9 = 15

3p = 6

p = 2

kemudian

3q + 3 = 3p + 6

3q + 3 = 6 + 6

3q = 9

q = 3

Selanjutnya

6r – 6 = 5q + 3

6r – 6 = 15 + 3

6r = 24

r = 4