Archive for July 30, 2015

Persamaan Kubik

Bentuk umum dari persamaan kubik adalah

ax3 + bx2 + cx + d = 0  dengan a ≠ 0

Persamaan ini memiliki 3 akar

Untuk mendapatkan akarnya ada 3 cara yang bisa dilakukan

1. Memfaktorkan

2. Menyederhanakan menjadi persamaan kuadrat

3. Menggunakan rumus

 

Cara I : memfaktorkan

Cara ini biasanya hanya dipakai untuk mencar akar-akar rasional

 

Contoh soal 1 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

x3 – 7x2 + 10x  = 0

Jawab :

x3 – 7x2 + 10x  = 0

x(x2 – 7x + 10)  = 0

x(x – 2)(x – 5) = 0

x = 0 atau x = 2 atau x = 5

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {0, 2, 5}

 

Contoh soal 2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

x3 – 3x2 – 4x + 12 = 0

Jawab :

x3 – 3x2 – 4x + 12 = 0

x2 (x – 3) – 4(x – 3) = 0

(x2 – 4)(x – 3)= 0

(x – 2)(x + 2)(x – 3) = 0

x = 2 atau x = -2 atau x = 3

 

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah  {-2, 2, 3}

 

Contoh soal 3 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

x3 – 5x2 – 25x + 125 = 0

 

Jawab :

x3 – 5x2 – 25x + 125 = 0

x2 (x – 5) – 25(x – 5) = 0

(x2 – 25) (x – 5) = 0

(x – 5)(x + 5)(x – 5) = 0

x = 5 atau x = -5 atau x = 5

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah  {-5, 5}

 

Contoh soal 4 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

x3 – 5x2 – 2x + 10 = 0

Jawab :

x3 – 5x2 – 2x + 10 = 0

x2 ( x – 5) – 2(x – 5) = 0

(x2 – 2)(x – 5) = 0

   atau      atau x = 5

Your ads will be inserted here by

Easy Plugin for AdSense.

Please go to the plugin admin page to
Paste your ad code OR
Suppress this ad slot.

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

 

Contoh soal 5 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

3x3 – x2 + 6x – 2 = 0

Jawab :

3x3 – x2 + 6x – 2 = 0

x2 (3x – 1) + 2(3x – 1) = 0

(x2 + 2)(3x – 1) = 0

x2 = – 2 (tidak mungkin)

x = 1/3

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

 

Contoh Soal 6

Himpunan penyelesaian dari x3 – 8x2 + 19x – 12 = 0 adalah …

Jawab :

Karena tidak kelihatan bentuk istimewanya maka kita selesaiakn dengan metoda horner

Pembagian Horner pada persamaan kubik

Persamaan kubik bisa kita faktorkan menjadi

(x – 1)(x2 – 7x + 12) = 0

(x – 1)(x – 3)(x – 4) = 0

x = 1 atau x = 3 atau x = 4

Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {1, 3, 4}

 

Contoh Soal 7

Himpunan penyelesaian dari x3 – 6x2 + 5x + 6 = 0 adalah …

Jawab :

Untuk memecahkan soal ini akan lebih mudah jika kita gunakan metoda horner

Penyelesaian persamaan kubik dengan horner

Maka persamaan kubik bisa difaktorkan menjadi

(x – 2)(x2 – 4x – 3) = 0

x = 2 atau x2 – 4x – 3 = 0

Untuk menyelesaiakan persamaan x2 – 4x – 3 = 0 kita gunakan rumus ABC

 

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

 

 Contoh soal 8 :

Himpunan penyelesaian dari 2x3 – 3x2 + 14x + 8 = 0 adalah …

Jawab :

Sekarang kita lakukan pembagian Horner

Metoda pembagian horner

Dengan demikian kita bisa memfaktorkan menjadi

(x + ½)(2x2 – 4x + 16) = 0

atau

(2x + 1)(x2 – 2x + 8) = 0

x = -1/2 atau x2 – 2x + 8 = 0

Persamaan x2 – 2x + 8 = 0 memiliki diskriminan

D = b2 – 4ac = (-2)2 – 4.1.8 = 4 – 32 = -28

Karena D < 0 maka x2 – 2x + 8 = 0 tidak memiliki akar real

Dengan demikian himpunan penyelesaian persamaan 2x3 – 3x2 + 14x + 8 = 0 adalah

Kesamaan Suku Banyak

Dua buah suku banyak dikatakan sama jika koefisien x yang berpangkat sama besarnya adalah sama.

Misalnya

ax3 + bx2 + cx + d = px3 + qx2 + rx + s

maka berlaku

a = p

b = q

c = r

d = s

 

 

Contoh soal 1 :

Tentukan nilai a dan b yang memenuhi persamaan

 

Jawab :

Bentuk di atas bisa diolah menjadi :

Jadi

20 = a(x +1)+ b(x – 3)

20 = ax + a +bx – 3b

20 = ax + bx + a – 3b

0.x + 20 = (a + b)x + a – 3b

 

a + b = 0

a – 3b = 20    _

4b = -20 maka b = – 5

a = -b = 5

 

Contoh soal 2 :

Nilai a, b, dan c yang memenuhi persamaan

adalah …

Jawab :

Jika kedua ruas dikali dengan (x – 1)(x – 2)(x – 3) maka hasilnya adalah

4 = a(x – 2)(x – 3) + b(x – 1)(x – 3) + c (x – 1)(x – 2)

4 = a(x2 – 5x + 6) + b(x2 – 4x + 3) + c (x2 – 3x + 2)

4 = ax2 – 5ax + 6a + bx2 – 4bx + 3b + cx2 – 3cx + 2c

4 = ax2 + bx2 + cx2 – 5ax – 4bx – 3cx + 6a + 3b + 2c

4 = (a+ b + c)x2 – (5a + 4b + 3c)x + 6a + 3b + 2c

Bentuk ini bisa juga ditulis menjadi

0.x2 + 0.x + 4 = (a+ b + c)x2 – (5a + 4b + 3c)x + 6a + 3b + 2c

maka bisa disimpulkan

a + b + c = 0 …………………………………………. (1)

5a + 4b + 3c = 0……………………………………… (2)

6a + 3b + 2c = 4 …………………………………….. (3)

Persamaan (2) dikali 1 dan persamaan (1) dikali 3 maka

5a + 4b + 3c = 0

3a + 3b + 3c = 0     _

2a + b = 0 ……………………………………………(4)

Persamaan (3) dikali 1 dan persamaan (1) dikali 2 maka

6a + 3b + 2c = 4

2a + 2b + 2c = 0  _

4a + b = 4 ……………………………………………(5)

Persamaan (5) dan (4)

4a + b = 4

2a + b = 0  _

2a = 4

maka a = 2

b = -2a = -4

a + b + c = 0

2 – 4 + c = 0

c = 2

 

Cara II

Jika kedua ruas dikali dengan (x – 1)(x – 2)(x – 3) maka hasilnya adalah

4 = a(x – 2)(x – 3) + b(x – 1)(x – 3) + c (x – 1)(x – 2)

x = 1 maka 4 = a(-1)(-2) sehingga a = 2

x = 2 maka 4 = b(1)(-1) sehingga b = -4

x = 3 maka 4 = c(2)(1) sehingga c = 2

 

Contoh Soal 3 :

Agar persamaan x3 – (p + 3) x2 + (q + 1) x – (2r – 2) = 0

dan 3x3 – 15x2 + (3p + 6) x – (5q + 3) = 0

memiliki 3 akar persekutuan maka nilai r sama dengan …

 

Jawab :

Persamaan kubik memiliki tepat 3 akar. Jika ketiga akar persamaan pertama sama dengan ketiga akar persamaan kedua (3 akar persekutuan) maka berarti keduanya merupakan persamaan yang sama.

Agar koefisien x3 sama persis maka persamaan pertama dikali 3 dan persamaan kedua dikali 1

3x3 – (3p + 9) x2 + (3q + 3) x – (6r – 6) = 0

3x3 – 15x2 + (3p + 6) x – (5q + 3) = 0

maka

3p + 9 = 15

3p = 6

p = 2

kemudian

3q + 3 = 3p + 6

3q + 3 = 6 + 6

3q = 9

q = 3

Selanjutnya

6r – 6 = 5q + 3

6r – 6 = 15 + 3

6r = 24

r = 4