Archive for June 23, 2015

Akar-akar Rasional Suku Banyak

Misalkan kita memiliki persamaan suku banyak

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ….+ a2xn + a1x + ao = 0

Untuk mencari akar-akar rasional suku banyak maka maka kita harus bisa memfaktorkannya. Untuk itu ada beberapa hal yang harus kita cek.

1. Jika ao = 0 maka salah satu akar suku banyak adalah 0 .

2. Jika jumlah koefisisen suku banyak adalah 0 maka satu akar suku banyak adalah 1 (suku banyak bisa dibagi  x – 1)

3. Jika jumlah koefisien x yang berpangkat genap sama denga jumlah koefisin x yang berpangkat ganjil maka satu akar suku banyak adalah -1 (suku banyak bisa dibagi  x + 1)

4. Jika langkah nomor 1, 2, dan 3 sudah tidak bisa dilakukan maka bagilah suku banyak dengan x – k dengan k adalah faktor dari ao

5. Jika langkah nomor 4 sudah tidak bisa dilakukan maka bagilah suku banyak dengan x – m  dengan m  adalah faktor dari ao/an .

Catatan : Jika kita mengerjakan satu langkah, dan menemukan akar yang besarnya p maka suku banyak yang kita kerjakan pada langkah selanjutnya adalah suku banyak yang sudah dibagi dengan x – p

 

 

Contoh soal 1 :

Tentukan akar-akar rasional suku banyak

x4 – 6x3 + 11x2 – 6x = 0

Jawab :

Nilai ao = 0 maka salah satu akarnya adalah 0 sehingga

x(x3 – 6x2 + 11x – 6) = 0

Sekarang kita selesaiakan polinom derajat 3 yang ada di dalam kurung

jumlah koefisien 1 – 6 + 11 – 6 = 0 sehingga salah astu akarnya adalah 1, maka suku banyak kita bagi dengan x – 1

suku banyak

dengan demikian suku banyak bisa difaktorkan menjadi

x(x – 1)(x2 – 5x + 6) = 0

x(x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0

x = 0 atau x = 1 atau x = 2 atau x = 3

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {0, 1, 2, 3}

 

Contoh soal 2 :

Tentukan akar-akar rasional suku banyak

x5 – 4x4  – 3x3 + 10x2 + 8x = 0

Jawab :

Nilai ao = 0 maka salah satu akarnya adalah 0 sehingga

x(x4 – 4x3  – 3x2 + 10x + 8)=0

Sekarang kita selesaiakan polinom derajat 4 yang ada di dalam kurung

Jumlah koefisien adalah

1 – 4 – 3 + 10 + 8 = 12 (tidak nol) sehingga polinom tidak bisa dibagi oleh x – 1

Jumlah koefisien x pangkat genap = 1 – 3 + 8 = 6

Jumlah koefisien x pangkat ganjil = -4 + 10 = 6

Jumlah koefisien x pangkat genap =Jumlah koefisien x pangkat ganjil sehingga polinom bisa dibagi oleh x + 1

Cara horner

 

Suku banyak menjadi

x(x+1)(x3  – 5x2 + 2x + 8)=0

Sekarang kita selesaiakan polinom derajat 3 yang ada di dalam kurung

Jumlah koefisien x pangkat ganjil = 1 + 2 = 3

Jumlah koefisien x pangkat genap = -5 + 8 = 3

Jumlah koefisien x pangkat genap =Jumlah koefisien x pangkat ganjil sehingga polinom bisa dibagi oleh x + 1

pembagian horner

 

suku banyak menjadi

x(x + 1)(x + 1) (x2 – 6x + 8) = 0

Selanjutnya kita faktorkan menjadi

x(x + 1)(x + 1)( x – 2)(x – 4) = 0

x = 0 atau x = -1 atau x = 2 atau x = 4

Jadi himpunan penyelesaiannya {-1, 0, 2, 4}

 

 Contoh Soal 3 :

Tentukan akar-akar rasional suku banyak

x4  – 7x3 + 8x2 + 28x – 48 = 0

Jawab :

Nilai ao = -48, jadi suku banyak tidak memiliki akar bernilai 0

Jumlah koefisien 1 – 7 + 8 + 28 – 48 = -18 (karena jumlah koefisien tidak 0 maka suku banyak tidak memiliki akar bernilai 1)

Jumlah koefisien x berpangkat genap = 1 + 8 – 48 = -39

Jumlah koefisien x berpangkat ganjil = -7 + 28 = 21

Karena koefisien x berpangkat genap tidak sama dengan jumlah koefisien x berpangkat ganjil maka suku banyak tidak memiliki akar bernilai -1

Sekarang kita cari akar-akar dari faktor -48

48 = 1×48 = 2 x 24 = 3 x 16 = 4 x 12 = 6 x 8

Jadi kita coba x = 2

Pembagian suku banyak

Jadi suku banyak bisa kita faktorkan menjadi

(x – 2)(x3 – 5x2 – 2x + 24) =0

Selanjutnya kita suku banyak derajat 3 kita bagi lagi dengan x – 2

Pembagian cara horner

Karena sisa = 8 (bukan 0) maka pembagian ini gagal, jadi kita pilih x = -2

Your ads will be inserted here by

Easy Plugin for AdSense.

Please go to the plugin admin page to
Paste your ad code OR
Suppress this ad slot.

Membagi polinom

Jadi, suku banyak bisa kita tulis menjadi

(x – 2)(x + 2)(x2 – 7x + 12) = 0

Bagian persamaan kuadrat bisa difaktorkan lagi sehingga

(x – 2)(x + 2)(x – 3)(x – 4) = 0

Jadi

x = 2 atau x = -2 atau x = 3 atau x = 4

Maka himpunan penyelesaiannya adalah

{-2, 2, 3, 4}

 

Contoh Soal 4 :

Himpunan penyelesaian dari persamaan

x5 – 2x4  – 16x3 + 19x2 + 58x – 24 = 0

Jawab :

Nilai ao = -24 (bukan 0) jadi suku banyak tidak memiliki akar bernilai 0.

Jumlah koefisien = 1 – 2 – 16 + 19 + 58 – 24 = 36 (bukan 0) sehingga suku banyak tidak memiliki akar bernilai 1

Jumlah koefisien x pangkat ganjil = 1 – 16 + 58 = 43

Jumlah koefisien x pangkat genap = -2 + 19 – 24 = – 7

Jumlah koefisien x pangkat ganjil tidak sama dengan jumlah koefisien x pangkat genap sehingga suku banyak tidak memiliki akar bernilai -1

Selanjutnya akar kita cari dari faktor ao = -24 yaitu {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

1 tidak usah kita pilih, karena 1 dan -1 bukan akar

Jika kita piih 2 berarti kita coba 2 dan -2, mana yang menyebabkan sisa = 0

Pembagian suku banyak

Ternyata setelah kita coba x =2 maka sisa tidak 0, ini berarti x =2 bukan akar suku banyak.

Sekarang kita coba untuk x = -2

Pembagian polinom

Ternyata sisanya = 0, ini berarti x = -2 merupakan akar.

Sekarang suku banyak bisa kita tulis menjadi

(x + 2)(x4  – 4x3 – 19x2 + 58x – 24) = 0

sekarang x4  – 4x3 – 19x2 + 58x – 24 kita bagi dengan x + 3 sehingga diperoleh

Pembagian horner

Ternyata sisanya 0, ini berarti x = -3 merupakjan akar suku banyak, sekarang suku banyak bisa difaktorkan menjadi

(x + 2)(x + 3)(x3 – 7x2 + 13x – 4) = 0

Selanjutnya x3 – 7x2 + 13x – 4 kita bagi dengan x – 4

Suku Banyak Metoda horner

Sekarang suku banyak bisa difaktorkan menjadi

(x + 2)(x + 3)(x – 4)(x2 – 3x + 1) = 0

Bagian x2 – 3x + 1 = 0 harus kita selesaiakan dengan rumus ABC sehingga

Dengan demikian nilai x yang memenuhi persamaan suku banyakadalah

x = -2, x = -3, x = 4,  dan 

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

 

Contoh Soal 5 :

Himpunan penyelesaian dari persamaan

6x6 – 43x5 + 103x4  – 92x3 + 47x2 – 99x + 90 = 0

adalah …

Jawab :

Dari hasil pengecekan bentuk di atas tidak memiliki akar -1, 0 ataupun 1. Setelah kita cek, ternyata nilai x bulat yang memenuhi adalah 2 dan 3

Pembagian suku banyak

Selanjutnya hasil baginya kita bagi dengan x – 3

pembagian dengan horner

Jadi persamaan bisa ditulis menjadi

(x – 2)(x – 3)(6x4  – 13x3 + 2x2 – 4x + 15) = 0

selanjutnya kita mencari akar persamaan 6x4  – 13x3 + 2x2 – 4x + 15 = 0

konstanta 15 memiliki faktor {1, 3, 5, 15}. Akan tetapi semua nilai tidak ada yang memenuhi.

Selanjutnya kita gunakan faktor dari 15/6 yaitu {1/6, 3/6, 5/6, 15/6, 1/3, 3/3, 5/3, 15/3, 1/2, 3/2, 5/2, 15/2,}

Setelah kita coba, yang memenuhi adalah 3/2 dan 5/3

pembagian polinom

selanjutnya 6x3 – 4x2 – 4x – 10 juga kita bagi

pembagian polinom pakai horner

Jadi jika kita tulis semua pemfaktoran

atau bisa juga menjadi

(x – 2)(x – 3)(2x – 3)(3x – 5)(x2 + x + 1) = 0

jadi

x = 2 , x = 3, x = 3/2 dan x = 5/3

Sedangkan persamaan x2 + x + 1 = 0 tidak memiliki akar real

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

{3/2, 5/3, 2, 3}

 

Teorema Sisa

Misalkan kita melakukan pembagian, yaitu 84 dibagi 10, maka hasilnya adalah 8, sedangkan sisanya adalah 4.

84 adalah yang dibagi

10 adalah pembagi

8 adalah hasil bagi

4 adalah sisa

Artinya

84 = 10 x 8 + 4

Bentuk ini bisa kita nyatakan sebagai teorema sisa

Yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

Sebelum mengerjakan soal-soal suku banyak yang berkaitan dengan teorema sisa ada beberapa hal yang perlu diingat

Jika f(x) : (x – a) maka sisanya adalah f(a)

Jika f(x) : (x + a) maka sisanya adalah f(-a)

Jika f(x) : (ax + b) maka sisanya adalah f(-b/a)

 

Jika suku banyak f(x) dibagi oleh suku banyak yang berderajat n maka sisanya merupakan suku banyak dengan derajat sebesar-besarnya adalah n – 1

Jadi

Jika f(x) :(ax + b) sisanya pasti konstanta

Jika f(x) :(ax2 + bx + c) sisanya bisa dimisalkan px + q

Jika f(x) :(ax3 + bx2 + cx + d) sisanya bisa dimisalkan px2 + qx + r

Jika f(x) :(ax4 +bx3 +cx2 +dx +e) sisanya bisa dimisalkan px3 +qx2 +rx +s

dan sebagainya

 

 

Contoh soal 1 :

Suku banyak f(x) jika dibagi oleh x2 – 7x + 12 sisanya adalah 2x + 7. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh x – 4

Jawab :

berdasarkan teorema sisa

yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

Karena hasil bagi tidak ada di soal maka bisa kita misalkan h(x)

f(x) =  (x2 – 7x + 12) h(x) + 2x + 7

f(x) =  (x – 3)(x – 4) h(x) + 2x + 7

Yang ditanyakan di soal ini adalah jika f(x) dibagi 4 sisanya berapa. Sesuai aturan, sisa yang kita cari adalah f(4) sehingga kita tinggal mensubtitusikan 4 ke dalam f(x)

f(4) = (4 – 3)(4 – 4) + 2.4 + 7 = 0 + 8 + 7 = 15

Jadi sisanya adalah 15

 

Contoh soal 2 :

Suku banyak f(x) jika dibagi x- 5 sisanya adalah 24, sedangkan jika dibagi x – 7 sisanya adalah 30. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh x2 – 12x + 35

Jawab :

f(x) :(x – 5) sisa = 24     ===> f(5) = 24

f(x) : (x – 7) sisa = 30     ===> f(7) = 30

f(x) : (x2 – 12x + 35) sisanya bisa dimisalkan px + q sedangkan hasil bagi bisa dimisalkan k(x)

Sesuai teorema sisa

yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

f(x) =(x2 – 12x + 35) k(x) + px + q

f(x) =(x – 7)(x – 5) k(x) + px + q

dengan mensubtitusikan nilai x = 7 dan x = 5 maka

f(7) = 7p + q = 30

f(5) = 5p + q = 24    

.        2p       = 6    ==>  p = 3

5p + q = 24

15 + q= 24  ==> q = 9

Jadi sisanya adalah

px + q = 3x + 9

 

 Contoh soal 3 :

Suku banyak f(x) jika dibagi 3x- 1 sisanya adalah 10, sedangkan jika dibagi 2x + 3 sisanya adalah -1. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh 6x2 + 7x – 3

 

Jawab :

f(x):(3x – 1) sisa = 10   ==> f(1/3)= 10

f(x):(2x + 3) sisa = -1   ==> f(-3/2) = -1

f(x) : (6x2 + 7x – 3) sisanya bisa dimisalkan mx + n sedangkan hasil bagi bisa dimisalkan p(x)

Menurut teorema sisa

yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

Jadi

f(x) =(6x2 + 7x – 3)p(x) + mx + n

f(x) =(3x – 1)(2x + 3)p(x) + mx + n

Dengan mensubtitusi x = 1/3 dan x = -3/2 maka

dengan mengurangkan kedua persamaan maka diperoleh :

Jika kedua ruas dikali 6 maka

2m + 9m = 66

11m = 66

m = 6

Kembali ke persamaan pertama :

2 + n = 10

n = 8

Jadi, sisanya adalah

mx + n = 6x + 8

 

Contoh Soal 4 :

Jika suku banyak f(x) dibagi oleh x – 1, x + 1 dan x – 2 masing-masing sisanya adalah 24, 32 dan 26. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleg x3 – 2x2 – x + 2

Jawab :

f(x) :(x-1) sisa = 24   ===> f(1) =24

f(x) :(x+1) sisa = 32   ===> f(-1) = 32

f(x) :(x-2) sisa = 26   ===> f(2) = 26

Ketika f(x) :(x3 – 2x2 – x + 2) maka sisanya bisa dimisalkan px2 + qx + r sedangkan hasilbagi kita misalkan g(x)

Pembagi bisa kita fakorkan sebagai berikut

x3 – 2x2 – x + 2

= x2(x- 2) – 1.(x – 2)

=(x2 – 1)(x – 2)

=(x + 1)(x – 1)(x – 2)

Sesuai teorema sisa maka

yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

f(x) = (x + 1)(x – 1)(x – 2) g(x) + px2 + qx + r

Dengan mensubtitusikan x = -1, x = 1, dan x = 2 maka

f(-1) = p – q + r =32 ………………(1)

f(1) = p + q + r =24 ………………(2)

f(2) = 4p + 2q + r =26 ……………(3)

Jika persamaan (2) dikurangi persamaan (1) maka

2q = – 8 maka q = -4 ……………..(4)

Jika persamaan (3) dikurangi persamaan (2) maka

3p + q = 2

3p – 4 =  2

3p = 6 maka p = 2 …………………(5)

Kembali ke persamaan (2)

p + q + r =24

2 – 4 + r = 24

r = 26 ……………………………..(6)

Jadi, sisanya adalah

px2 + qx + r = 2x2 – 4x + 26

 

Contoh Soal 5 :

Suku banyak g(x) dan h(x) jika dibagi oleh x – 9 masing-masing sisanya adalah 25 dan 40. Jika f(x) = g(x)h(x) maka sisa pembagian f(x) oleh x – 9 adalah …

Jawab :

g(x):(x – 9) sisa = 25   ===> g(9) = 25

h(x):(x – 9) sisa = 40   ===> h(9) = 40

diketahui f(x) = g(x)h(x)

maka f(9) = g(9)h(9) = 25.40 = 1.000

Jadi, jika f(x) dibagi oleh x – 9 sisanya adalah 1.000

 

Contoh Soal 6 :

Suku banyak p(x) jika dibagi oleh x2 – 5x sisanya adalah 2x + 6. Suku banyak q(x) jika dibagi x2 – 9x + 20 sisanya adalah 3x + 5. Jika g(x) = p(x) + q(x) maka sisa pembagian g(x) oleh x – 5 adalah ….

 Jawab :

p(x) :(x2 – 5x) sisa = 2x + 6

q(x) :(x2 – 9x + 20) sisa = 3x + 5

Berdasarkan teorema sisa

yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

p(x) =(x2 – 5x)h(x)+ 2x + 6

q(x) =(x2 – 9x + 20)k(x)+ 3x + 5

maka

p(5) = (25 – 25) h(5) + 10 + 6 = 0 + 16 = 16

q(5) = (25 – 45 + 20) k(5) + 15 + 5 = 0 + 20 = 20

Dari soal diketahui g(x) = p(x) + q(x)

sehingga

g(5) = p(5) + q(5) = 16 + 20 = 36

Jadi, ketika g(x) dibagi (x – 5) sisanya adalah 36

 

Contoh Soal 7 :

Suku banyak u(x) jika dibagi x – 1 dan x – 5 sisanya adalah 4 dan 8. Suku banyak v(x) jika dibagi x – 1 dan x – 5 sisanya 7 dan 5.  Tentukan sisanya jika f(x) = u(x)v(x) dibagi oleh x2 – 6x + 5.

Jawab :

u(x) : (x – 1) sisa = 4   ===>  u(1) =4

u(x) : (x – 5) sisa = 8   ===>  u(5) =8

v(x) : (x – 1) sisa = 7   ===>  v(1) =7

v(x) : (x – 5) sisa = 5   ===>  v(5) =5

 

f(x) = u(x)v(x)

f(1) = u(1)v(1) =4.7 = 28

f(5) = u(5)v(5) = 8.5 = 40

Pertanyaan

Jika f(x) dibagi oleh x2 – 6x + 5 maka sisanya = ?

Misalkan sisa = mx + n

Menurut teorema sisa

yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

f(x) = (x2 – 6x + 5) h(x) + mx + n

f(x) = (x – 5)(x – 1) h(x) + mx + n

f(5) = 5m + n = 40

f(1) =  m + n = 28     

.         4m     = 12 maka m = 3

m + n = 28

3 + n = 28

n = 25

Jadi jika f(x) dibagi oleh x2 – 6x + 5 sisanya 3x + 25

 

 

Contoh Soal 8 :

Suku banyak g(x) dan h(x) jika dibagi oleh x2 – x – 6 sisanya adalah x + 3 dan 2x – 1. Tentukan sisanya jika f(x)=g(x)h(x) dibagi oleh x2 – x – 6

 

Jawab :

Pembagi = x2 – x – 6 = (x – 3)(x + 2)

g(x):(x – 3)(x + 2) sisa = x + 3

h(x):(x – 3)(x + 2) sisa = 2x – 1

dengan teorema sisa

yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

g(x)=(x – 3)(x + 2)k(x) + x + 3

h(x)=(x – 3)(x + 2)m(x) + 2x – 1

sehingga diperoleh

g(3) = 6 dan g(-2) = 1

h(3) = 5 dan h(-2) = -5

Karena f(x) = g(x)h(x) maka

f(3) = g(3) h(3) = 6.5 = 30

f(-2) = g(-2) h(-2) = 1.(-5) = -5

misal jika f(x) dibagi x2 – x – 6 sisanya ax + b sehingga

f(x) = (x – 3)(x + 2)r(x) + ax + b

f(3) = 3a + b = 30

f(-2) = -2a + b =-5     

.         5a = 35     ===>   a = 7

3a + b = 30

21 + b = 30   ===> b = 9

Jadi, sisanya = 7x + 9