Archive for June 23, 2015

Akar-akar Rasional Suku Banyak

Misalkan kita memiliki persamaan suku banyak

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ….+ a2xn + a1x + ao = 0

Untuk mencari akar-akar rasional suku banyak maka maka kita harus bisa memfaktorkannya. Untuk itu ada beberapa hal yang harus kita cek.

1. Jika ao = 0 maka salah satu akar suku banyak adalah 0 .

2. Jika jumlah koefisisen suku banyak adalah 0 maka satu akar suku banyak adalah 1 (suku banyak bisa dibagi  x – 1)

3. Jika jumlah koefisien x yang berpangkat genap sama denga jumlah koefisin x yang berpangkat ganjil maka satu akar suku banyak adalah -1 (suku banyak bisa dibagi  x + 1)

4. Jika langkah nomor 1, 2, dan 3 sudah tidak bisa dilakukan maka bagilah suku banyak dengan x – k dengan k adalah faktor dari ao

5. Jika langkah nomor 4 sudah tidak bisa dilakukan maka bagilah suku banyak dengan x – m  dengan m  adalah faktor dari ao/an .

Catatan : Jika kita mengerjakan satu langkah, dan menemukan akar yang besarnya p maka suku banyak yang kita kerjakan pada langkah selanjutnya adalah suku banyak yang sudah dibagi dengan x – p

 

 

Contoh soal 1 :

Tentukan akar-akar rasional suku banyak

x4 – 6x3 + 11x2 – 6x = 0

Jawab :

Nilai ao = 0 maka salah satu akarnya adalah 0 sehingga

x(x3 – 6x2 + 11x – 6) = 0

Sekarang kita selesaiakan polinom derajat 3 yang ada di dalam kurung

jumlah koefisien 1 – 6 + 11 – 6 = 0 sehingga salah astu akarnya adalah 1, maka suku banyak kita bagi dengan x – 1

suku banyak

dengan demikian suku banyak bisa difaktorkan menjadi

x(x – 1)(x2 – 5x + 6) = 0

x(x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0

x = 0 atau x = 1 atau x = 2 atau x = 3

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {0, 1, 2, 3}

 

Contoh soal 2 :

Tentukan akar-akar rasional suku banyak

x5 – 4x4  – 3x3 + 10x2 + 8x = 0

Jawab :

Nilai ao = 0 maka salah satu akarnya adalah 0 sehingga

x(x4 – 4x3  – 3x2 + 10x + 8)=0

Sekarang kita selesaiakan polinom derajat 4 yang ada di dalam kurung

Jumlah koefisien adalah

1 – 4 – 3 + 10 + 8 = 12 (tidak nol) sehingga polinom tidak bisa dibagi oleh x – 1

Jumlah koefisien x pangkat genap = 1 – 3 + 8 = 6

Jumlah koefisien x pangkat ganjil = -4 + 10 = 6

Jumlah koefisien x pangkat genap =Jumlah koefisien x pangkat ganjil sehingga polinom bisa dibagi oleh x + 1

Cara horner

 

Suku banyak menjadi

x(x+1)(x3  – 5x2 + 2x + 8)=0

Sekarang kita selesaiakan polinom derajat 3 yang ada di dalam kurung

Jumlah koefisien x pangkat ganjil = 1 + 2 = 3

Jumlah koefisien x pangkat genap = -5 + 8 = 3

Jumlah koefisien x pangkat genap =Jumlah koefisien x pangkat ganjil sehingga polinom bisa dibagi oleh x + 1

pembagian horner

 

suku banyak menjadi

x(x + 1)(x + 1) (x2 – 6x + 8) = 0

Selanjutnya kita faktorkan menjadi

x(x + 1)(x + 1)( x – 2)(x – 4) = 0

x = 0 atau x = -1 atau x = 2 atau x = 4

Jadi himpunan penyelesaiannya {-1, 0, 2, 4}

 

 Contoh Soal 3 :

Tentukan akar-akar rasional suku banyak

x4  – 7x3 + 8x2 + 28x – 48 = 0

Jawab :

Nilai ao = -48, jadi suku banyak tidak memiliki akar bernilai 0

Jumlah koefisien 1 – 7 + 8 + 28 – 48 = -18 (karena jumlah koefisien tidak 0 maka suku banyak tidak memiliki akar bernilai 1)

Jumlah koefisien x berpangkat genap = 1 + 8 – 48 = -39

Jumlah koefisien x berpangkat ganjil = -7 + 28 = 21

Karena koefisien x berpangkat genap tidak sama dengan jumlah koefisien x berpangkat ganjil maka suku banyak tidak memiliki akar bernilai -1

Sekarang kita cari akar-akar dari faktor -48

48 = 1×48 = 2 x 24 = 3 x 16 = 4 x 12 = 6 x 8

Jadi kita coba x = 2

Pembagian suku banyak

Jadi suku banyak bisa kita faktorkan menjadi

(x – 2)(x3 – 5x2 – 2x + 24) =0

Selanjutnya kita suku banyak derajat 3 kita bagi lagi dengan x – 2

Pembagian cara horner

Karena sisa = 8 (bukan 0) maka pembagian ini gagal, jadi kita pilih x = -2

Membagi polinom

Jadi, suku banyak bisa kita tulis menjadi

(x – 2)(x + 2)(x2 – 7x + 12) = 0

Bagian persamaan kuadrat bisa difaktorkan lagi sehingga

(x – 2)(x + 2)(x – 3)(x – 4) = 0

Jadi

x = 2 atau x = -2 atau x = 3 atau x = 4

Maka himpunan penyelesaiannya adalah

{-2, 2, 3, 4}

 

Contoh Soal 4 :

Himpunan penyelesaian dari persamaan

x5 – 2x4  – 16x3 + 19x2 + 58x – 24 = 0

Jawab :

Nilai ao = -24 (bukan 0) jadi suku banyak tidak memiliki akar bernilai 0.

Jumlah koefisien = 1 – 2 – 16 + 19 + 58 – 24 = 36 (bukan 0) sehingga suku banyak tidak memiliki akar bernilai 1

Jumlah koefisien x pangkat ganjil = 1 – 16 + 58 = 43

Jumlah koefisien x pangkat genap = -2 + 19 – 24 = – 7

Jumlah koefisien x pangkat ganjil tidak sama dengan jumlah koefisien x pangkat genap sehingga suku banyak tidak memiliki akar bernilai -1

Selanjutnya akar kita cari dari faktor ao = -24 yaitu {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

1 tidak usah kita pilih, karena 1 dan -1 bukan akar

Jika kita piih 2 berarti kita coba 2 dan -2, mana yang menyebabkan sisa = 0

Pembagian suku banyak

Ternyata setelah kita coba x =2 maka sisa tidak 0, ini berarti x =2 bukan akar suku banyak.

Sekarang kita coba untuk x = -2

Pembagian polinom

Ternyata sisanya = 0, ini berarti x = -2 merupakan akar.

Sekarang suku banyak bisa kita tulis menjadi

(x + 2)(x4  – 4x3 – 19x2 + 58x – 24) = 0

sekarang x4  – 4x3 – 19x2 + 58x – 24 kita bagi dengan x + 3 sehingga diperoleh

Pembagian horner

Ternyata sisanya 0, ini berarti x = -3 merupakjan akar suku banyak, sekarang suku banyak bisa difaktorkan menjadi

(x + 2)(x + 3)(x3 – 7x2 + 13x – 4) = 0

Selanjutnya x3 – 7x2 + 13x – 4 kita bagi dengan x – 4

Suku Banyak Metoda horner

Sekarang suku banyak bisa difaktorkan menjadi

(x + 2)(x + 3)(x – 4)(x2 – 3x + 1) = 0

Bagian x2 – 3x + 1 = 0 harus kita selesaiakan dengan rumus ABC sehingga

Dengan demikian nilai x yang memenuhi persamaan suku banyakadalah

x = -2, x = -3, x = 4,  dan 

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

 

Contoh Soal 5 :

Himpunan penyelesaian dari persamaan

6x6 – 43x5 + 103x4  – 92x3 + 47x2 – 99x + 90 = 0

adalah …

Jawab :

Dari hasil pengecekan bentuk di atas tidak memiliki akar -1, 0 ataupun 1. Setelah kita cek, ternyata nilai x bulat yang memenuhi adalah 2 dan 3

Pembagian suku banyak

Selanjutnya hasil baginya kita bagi dengan x – 3

pembagian dengan horner

Jadi persamaan bisa ditulis menjadi

(x – 2)(x – 3)(6x4  – 13x3 + 2x2 – 4x + 15) = 0

selanjutnya kita mencari akar persamaan 6x4  – 13x3 + 2x2 – 4x + 15 = 0

konstanta 15 memiliki faktor {1, 3, 5, 15}. Akan tetapi semua nilai tidak ada yang memenuhi.

Selanjutnya kita gunakan faktor dari 15/6 yaitu {1/6, 3/6, 5/6, 15/6, 1/3, 3/3, 5/3, 15/3, 1/2, 3/2, 5/2, 15/2,}

Setelah kita coba, yang memenuhi adalah 3/2 dan 5/3

pembagian polinom

selanjutnya 6x3 – 4x2 – 4x – 10 juga kita bagi

pembagian polinom pakai horner

Jadi jika kita tulis semua pemfaktoran

atau bisa juga menjadi

(x – 2)(x – 3)(2x – 3)(3x – 5)(x2 + x + 1) = 0

jadi

x = 2 , x = 3, x = 3/2 dan x = 5/3

Sedangkan persamaan x2 + x + 1 = 0 tidak memiliki akar real

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

{3/2, 5/3, 2, 3}

 

Teorema Sisa

Misalkan kita melakukan pembagian, yaitu 84 dibagi 10, maka hasilnya adalah 8, sedangkan sisanya adalah 4.

84 adalah yang dibagi

10 adalah pembagi

8 adalah hasil bagi

4 adalah sisa

Artinya

84 = 10 x 8 + 4

Bentuk ini bisa kita nyatakan sebagai teorema sisa

Yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

Sebelum mengerjakan soal-soal suku banyak yang berkaitan dengan teorema sisa ada beberapa hal yang perlu diingat

Jika f(x) : (x – a) maka sisanya adalah f(a)

Jika f(x) : (x + a) maka sisanya adalah f(-a)

Jika f(x) : (ax + b) maka sisanya adalah f(-b/a)

 

Jika suku banyak f(x) dibagi oleh suku banyak yang berderajat n maka sisanya merupakan suku banyak dengan derajat sebesar-besarnya adalah n – 1

Jadi

Jika f(x) :(ax + b) sisanya pasti konstanta

Jika f(x) :(ax2 + bx + c) sisanya bisa dimisalkan px + q

Jika f(x) :(ax3 + bx2 + cx + d) sisanya bisa dimisalkan px2 + qx + r

Jika f(x) :(ax4 +bx3 +cx2 +dx +e) sisanya bisa dimisalkan px3 +qx2 +rx +s

dan sebagainya

 

 

Contoh soal 1 :

Suku banyak f(x) jika dibagi oleh x2 – 7x + 12 sisanya adalah 2x + 7. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh x – 4

Jawab :

berdasarkan teorema sisa

yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

Karena hasil bagi tidak ada di soal maka bisa kita misalkan h(x)

f(x) =  (x2 – 7x + 12) h(x) + 2x + 7

f(x) =  (x – 3)(x – 4) h(x) + 2x + 7

Yang ditanyakan di soal ini adalah jika f(x) dibagi 4 sisanya berapa. Sesuai aturan, sisa yang kita cari adalah f(4) sehingga kita tinggal mensubtitusikan 4 ke dalam f(x)

f(4) = (4 – 3)(4 – 4) + 2.4 + 7 = 0 + 8 + 7 = 15

Jadi sisanya adalah 15

 

Contoh soal 2 :

Suku banyak f(x) jika dibagi x- 5 sisanya adalah 24, sedangkan jika dibagi x – 7 sisanya adalah 30. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh x2 – 12x + 35

Jawab :

f(x) :(x – 5) sisa = 24     ===> f(5) = 24

f(x) : (x – 7) sisa = 30     ===> f(7) = 30

f(x) : (x2 – 12x + 35) sisanya bisa dimisalkan px + q sedangkan hasil bagi bisa dimisalkan k(x)

Sesuai teorema sisa

yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

f(x) =(x2 – 12x + 35) k(x) + px + q

f(x) =(x – 7)(x – 5) k(x) + px + q

dengan mensubtitusikan nilai x = 7 dan x = 5 maka

f(7) = 7p + q = 30

f(5) = 5p + q = 24    

.        2p       = 6    ==>  p = 3

5p + q = 24

15 + q= 24  ==> q = 9

Jadi sisanya adalah

px + q = 3x + 9

 

 Contoh soal 3 :

Suku banyak f(x) jika dibagi 3x- 1 sisanya adalah 10, sedangkan jika dibagi 2x + 3 sisanya adalah -1. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh 6x2 + 7x – 3

 

Jawab :

f(x):(3x – 1) sisa = 10   ==> f(1/3)= 10

f(x):(2x + 3) sisa = -1   ==> f(-3/2) = -1

f(x) : (6x2 + 7x – 3) sisanya bisa dimisalkan mx + n sedangkan hasil bagi bisa dimisalkan p(x)

Menurut teorema sisa

yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

Jadi

f(x) =(6x2 + 7x – 3)p(x) + mx + n

f(x) =(3x – 1)(2x + 3)p(x) + mx + n

Dengan mensubtitusi x = 1/3 dan x = -3/2 maka

dengan mengurangkan kedua persamaan maka diperoleh :

Jika kedua ruas dikali 6 maka

2m + 9m = 66

11m = 66

m = 6

Kembali ke persamaan pertama :

2 + n = 10

n = 8

Jadi, sisanya adalah

mx + n = 6x + 8

 

Contoh Soal 4 :

Jika suku banyak f(x) dibagi oleh x – 1, x + 1 dan x – 2 masing-masing sisanya adalah 24, 32 dan 26. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleg x3 – 2x2 – x + 2

Jawab :

f(x) :(x-1) sisa = 24   ===> f(1) =24

f(x) :(x+1) sisa = 32   ===> f(-1) = 32

f(x) :(x-2) sisa = 26   ===> f(2) = 26

Ketika f(x) :(x3 – 2x2 – x + 2) maka sisanya bisa dimisalkan px2 + qx + r sedangkan hasilbagi kita misalkan g(x)

Pembagi bisa kita fakorkan sebagai berikut

x3 – 2x2 – x + 2

= x2(x- 2) – 1.(x – 2)

=(x2 – 1)(x – 2)

=(x + 1)(x – 1)(x – 2)

Sesuai teorema sisa maka

yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

f(x) = (x + 1)(x – 1)(x – 2) g(x) + px2 + qx + r

Dengan mensubtitusikan x = -1, x = 1, dan x = 2 maka

f(-1) = p – q + r =32 ………………(1)

f(1) = p + q + r =24 ………………(2)

f(2) = 4p + 2q + r =26 ……………(3)

Jika persamaan (2) dikurangi persamaan (1) maka

2q = – 8 maka q = -4 ……………..(4)

Jika persamaan (3) dikurangi persamaan (2) maka

3p + q = 2

3p – 4 =  2

3p = 6 maka p = 2 …………………(5)

Kembali ke persamaan (2)

p + q + r =24

2 – 4 + r = 24

r = 26 ……………………………..(6)

Jadi, sisanya adalah

px2 + qx + r = 2x2 – 4x + 26

 

Contoh Soal 5 :

Suku banyak g(x) dan h(x) jika dibagi oleh x – 9 masing-masing sisanya adalah 25 dan 40. Jika f(x) = g(x)h(x) maka sisa pembagian f(x) oleh x – 9 adalah …

Jawab :

g(x):(x – 9) sisa = 25   ===> g(9) = 25

h(x):(x – 9) sisa = 40   ===> h(9) = 40

diketahui f(x) = g(x)h(x)

maka f(9) = g(9)h(9) = 25.40 = 1.000

Jadi, jika f(x) dibagi oleh x – 9 sisanya adalah 1.000

 

Contoh Soal 6 :

Suku banyak p(x) jika dibagi oleh x2 – 5x sisanya adalah 2x + 6. Suku banyak q(x) jika dibagi x2 – 9x + 20 sisanya adalah 3x + 5. Jika g(x) = p(x) + q(x) maka sisa pembagian g(x) oleh x – 5 adalah ….

 Jawab :

p(x) :(x2 – 5x) sisa = 2x + 6

q(x) :(x2 – 9x + 20) sisa = 3x + 5

Berdasarkan teorema sisa

yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

p(x) =(x2 – 5x)h(x)+ 2x + 6

q(x) =(x2 – 9x + 20)k(x)+ 3x + 5

maka

p(5) = (25 – 25) h(5) + 10 + 6 = 0 + 16 = 16

q(5) = (25 – 45 + 20) k(5) + 15 + 5 = 0 + 20 = 20

Dari soal diketahui g(x) = p(x) + q(x)

sehingga

g(5) = p(5) + q(5) = 16 + 20 = 36

Jadi, ketika g(x) dibagi (x – 5) sisanya adalah 36

 

Contoh Soal 7 :

Suku banyak u(x) jika dibagi x – 1 dan x – 5 sisanya adalah 4 dan 8. Suku banyak v(x) jika dibagi x – 1 dan x – 5 sisanya 7 dan 5.  Tentukan sisanya jika f(x) = u(x)v(x) dibagi oleh x2 – 6x + 5.

Jawab :

u(x) : (x – 1) sisa = 4   ===>  u(1) =4

u(x) : (x – 5) sisa = 8   ===>  u(5) =8

v(x) : (x – 1) sisa = 7   ===>  v(1) =7

v(x) : (x – 5) sisa = 5   ===>  v(5) =5

 

f(x) = u(x)v(x)

f(1) = u(1)v(1) =4.7 = 28

f(5) = u(5)v(5) = 8.5 = 40

Pertanyaan

Jika f(x) dibagi oleh x2 – 6x + 5 maka sisanya = ?

Misalkan sisa = mx + n

Menurut teorema sisa

yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

f(x) = (x2 – 6x + 5) h(x) + mx + n

f(x) = (x – 5)(x – 1) h(x) + mx + n

f(5) = 5m + n = 40

f(1) =  m + n = 28     

.         4m     = 12 maka m = 3

m + n = 28

3 + n = 28

n = 25

Jadi jika f(x) dibagi oleh x2 – 6x + 5 sisanya 3x + 25

 

 

Contoh Soal 8 :

Suku banyak g(x) dan h(x) jika dibagi oleh x2 – x – 6 sisanya adalah x + 3 dan 2x – 1. Tentukan sisanya jika f(x)=g(x)h(x) dibagi oleh x2 – x – 6

 

Jawab :

Pembagi = x2 – x – 6 = (x – 3)(x + 2)

g(x):(x – 3)(x + 2) sisa = x + 3

h(x):(x – 3)(x + 2) sisa = 2x – 1

dengan teorema sisa

yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

g(x)=(x – 3)(x + 2)k(x) + x + 3

h(x)=(x – 3)(x + 2)m(x) + 2x – 1

sehingga diperoleh

g(3) = 6 dan g(-2) = 1

h(3) = 5 dan h(-2) = -5

Karena f(x) = g(x)h(x) maka

f(3) = g(3) h(3) = 6.5 = 30

f(-2) = g(-2) h(-2) = 1.(-5) = -5

misal jika f(x) dibagi x2 – x – 6 sisanya ax + b sehingga

f(x) = (x – 3)(x + 2)r(x) + ax + b

f(3) = 3a + b = 30

f(-2) = -2a + b =-5     

.         5a = 35     ===>   a = 7

3a + b = 30

21 + b = 30   ===> b = 9

Jadi, sisanya = 7x + 9