Archive for January 31, 2015

Akar-Akar Negatif Persamaan Kuadrat

Jika persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 memiliki akar-akar negatif maka

x1 < 0 dan x2 < 0

Akibatnya

x1  + x2  < 0

x1 x2 >0

Karena bilangan negatif juga bilangan real maka pada kondisi akar-akar negatif persamaan kuadrat memiliki ciri-ciri

 

 

Jadi, persyaratan  akar-akar negatif adalah

x1  + x2  < 0

x1 x2 >0

 

Contoh Soal 1

Agar persamaan x2 + (m – 3)x + m + 5 = 0 memiliki akar-akar negatif maka nilai m adalah

Jawab :

x1 < 0 dan x2 < 0

x1  + x2  < 0                         x1 x2 >0

– m + 3 < 0                           m + 5 > 0

-m < -3                                 m > -5 …………………………(2)

m > 3  ………………………….(1)

 

b2 – 4ac ≥ 0

(m – 3)2 – 4.1.(m + 5) ≥ 0

m2 – 6m + 9 – 4m – 20 ≥ 0

m2 – 10m – 11 ≥ 0

(m – 11)(m + 1) ≥ 0

Akar-akar real

m ≤ – 1 atau m ≥ 11 ……………………………(3)

Jika (1), (2), dan (3) diiriskan diperoleh

akar akar negatif

m ≥ 11

 

 Contoh soal 2 :

Tentukan nilai p persamaan x2 – (p -5)x + p – 2 = 0 memiliki akar-akar negatif

 

Jawab :

x1 < 0 dan x2 < 0

x1  + x2  < 0                            x1 x2 >0

p – 5 < 0                                 p – 2 > 0

p < 5 ………………….(1)           p > 2 …………………….. (2)

 

Syarat berikutnya adalah

b2 – 4ac ≥ 0

(p – 5)2 – 4.1.(p – 2) ≥ 0

p2 – 10p + 25 – 4p + 8 ≥ 0

Your ads will be inserted here by

Easy Plugin for AdSense.

Please go to the plugin admin page to
Paste your ad code OR
Suppress this ad slot.

p2 – 14p + 33  ≥ 0

(p – 3)(p – 11) ≥ 0

p ≤ 3 atau p ≥ 11 …………………………….(3)

Akar-akar real

Dari (1), (2), dan (3) diperoleh

akar akar negatif

 

2 < p ≤ 3

 

Jika akar-akar negatif berlainan (berbeda) maka syaratnya ada 3, yaitu :

x1  + x2  < 0

x1 x2 > 0

D > 0

 

Contoh soal 3 :

Batas-batas nilai t sehingga persamaan x2 – (t -5)x + t + 10 = 0 memiliki akar-akar negatif berbeda adalah …

 

Jawab :

x1  + x2  < 0                         x1 x2 > 0

t – 5 < 0                              t + 10 > 0

t < 5  ………..(1)                  t > -10  ………………(2)

 

D > 0

b2 – 4ac > 0

(t – 5)2 – 4.1.(t + 10) > 0

t2 – 10t + 25 – 4t – 40 > 0

t2 – 14t – 15 > 0

(t – 15)(t + 1) > 0

t < -1 atau t > 15 …………………….(3)

Akar-akar real berbeda

dari (1), (2), dan (3) diperoleh

akar akar negatif berlainan

-10 < t < -1

 

 

Artikel lain :

akar akar berlainan tanda

akar akar positif persamaan kuadrat

akar akar rasional persamaan kuadrat

akar akar saling berkebalikan

akar akar saling berlawanan

penyelesaian persamaan kuadrat

persamaan kuadrat matematika sma

rumus abc persamaan kuadrat

soal dan pembahasan persamaan kuadrat

akar akar persamaan kuadrat

akar akar persamaan kuadrat berpangkat tinggi

akar akar persekutuan

Akar-Akar Positif Persamaan Kuadrat

Misalkan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 memiliki akar-akar x1 dan x2. Jika akar-akarnya positif maka

x1  > 0 dan x2 > 0

sehingga

x1  + x2  > 0 dan x1 . x2  > 0

Karena bilangan positif juga termasuk bilangan real maka pada persamaan ini juga berlaku

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut :

 

Contoh soal 1 :

Tentukan nilai k agar persamaan x2  + (k – 2)x + k + 6 = 0 memiliki akar-akar positif

Jawab :

x1  + x2  > 0                       x1 . x2  > 0

-k + 2 > 0                       k + 6 > 0

-k > -2                            k > -6 ……………..(2)

k < 2 …………………….(1)

 

b2 – 4ac ≥0

(k – 2)2 – 4.1.(k + 6) ≥ 0

k2 – 4k + 4 – 4k – 24 ≥ 0

k2 – 8k – 20 ≥ 0

(k – 10)(k + 2) ≥ 0

k ≤ – 2 atau k ≥ 10 …………………(3)

Dari (1), (2), dan (3) bisa disimpulkan

akar-akar positif persamaan kuadrat

-6 < k ≤ – 2

=====================================================

Jika persamaan kuadrat memiliki akar-akar positif yang berbeda (berlainan) maka

x1  + x2  > 0

x1 . x2  > 0

D > 0

 

Penambahan kata berlainan hanya menghilangkan tanda sama dengan pada diskriminan

Contoh soal 2 :

Agar persamaan kuadrat x2  – (n – 7)x + n – 4 = 0 memiliki akar-akar positif berlainan maka nilai n adalah ….

Jawab :

x1  + x2  > 0                      x1 . x2  > 0

n – 7 > 0                        n – 4 > 0

n > 7 …………..(1)          n > 4 …………..(2)

 

D > 0

(n – 7)2  – 4.1.(n – 4) > 0

n2  – 14n + 49 – 4n + 16 > 0

n2  – 18n +65 > 0

(n – 5)(n – 13) > 0

n < 5 atau n > 13 ……………………(3)

Dari (1), (2), dan (3) diperoleh

persamaan kuadrat dengan akar-akar positif

n > 13

 

Contoh soal 3 :

Tentukan batas-batas p sehingga persamaan x2  + (p – 8)x + p + 7 = 0 memiliki akar-akar positif berbeda

Jawab :

x1  + x2  > 0                   x1 . x2  > 0

– p + 8 > 0                  p + 7 > 0

-p > -8                       p > -7 ……………(2)

p < 8 …………………………………(1)

 

D > 0

b2  – 4ac > 0

(p – 8)2  – 4.1.(p + 7) > 0

p2 – 16p + 64 – 4p – 28 > 0

p2 – 20p + 36 > 0

(p – 2)(p – 18) > 0

p < 2 atau p > 18 ………………….(3)

dari (1), (2) dan (3) diperoleh

akar-akar positif

-7 < p < 2

 

 

 

akar akar berlainan tanda

akar akar negatif persamaan kuadrat

akar akar rasional persamaan kuadrat

akar akar saling berkebalikan

akar akar saling berlawanan

penyelesaian persamaan kuadrat

persamaan kuadrat matematika sma

rumus abc persamaan kuadrat

soal dan pembahasan persamaan kuadrat

akar akar persamaan kuadrat

akar akar persamaan kuadrat berpangkat tinggi

akar akar persekutuan