Archive for November 14, 2014

Rumus Trigonometri Penjumlahan Menjadi Perkalian

Pada bagian sebelumnya ( Rumus Trigonometri Perkalian Menjadi Penjumlahan ) dibahas 4 rumus berikut
2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)
2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)
-2 sin A sin B = cos (A + B) – cos (A – B)

misalkan
A + B = C
A – B = D
jika dijumlahkan                 jika dikurangkan
2A = C + D                       2B = C – D
A = ½(C + D)                    B = ½(C – D)

Dengan demikian rumus di atas bisa diubah menjadi

2 sin ½(C + D) cos ½(C – D) = sin C + sin D
2 cos ½(C + D) sin ½(C – D) = sin C – sin D
2 cos ½(C + D) cos ½(C – D) = cos C + cos D
-2 sin ½(C + D) sin ½(C – D) = cos C – cos D

Penulisan bisa diubah menjadi

sin C + sin D = 2 sin ½(C + D) cos ½(C – D)
sin C – sin D = 2 cos ½(C + D) sin ½(C – D)
cos C + cos D = 2 cos ½(C + D) cos ½(C – D)
cos C – cos D = -2 sin ½(C + D) sin ½(C – D)

 

Contoh soal 1 :

sin 75o + sin 15o = …
Jawab :
sin C + sin D = 2 sin ½(C + D) cos ½(C – D)
sin 75o + sin 15o = 2 sin ½(75o + 15o) cos ½(75o – 15o)
= 2 sin 45o cos 30o
= 2. ½√2 ½√3 = ½√6

 

Contoh soal 2 :

cos 52½o + cos 37½o = …

 

Jawab :

cos C + cos D = 2 cos ½(C + D) cos ½(C – D)

cos 52½o + cos 37½o = 2 cos ½(52½o + 37½o) cos ½(52½o – 37½o)
= 2 cos 45o cos 15o
= 2.½√2. cos (45o – 30o)
= √2 (cos 45o cos 30o + sin 45o sin 30o)
= √2 (½√2.½√3 + ½√2.½)
= √2 (¼ √6 + ¼√2)
= ¼√12 + ¼.2
= ½√3 + ½

 

Contoh soal 3 :

sin 67½o – sin 22½o = …

 

Jawab :

sin C – sin D = 2 cos ½(C + D) sin ½(C – D)

sin 67½o – sin 22½o
= 2 cos ½(67½o + 22½o) sin ½(67½o – 22½o)
= 2 cos 45o sin 22½o

 

Catatan :

cara mencari sin 22½o adalah sbb :
cos 2x = 1 – 2 sin2 ½x
dengan mengganti x dengan 22½o maka diperoleh
cos 45o = 1 – 2 sin2 22½o

Jadi

 

Contoh soal 4 :

cos 37½o – cos 7½o = …

 

Jawab :
cos C – cos D = -2 sin ½(C + D) sin ½(C – D)
cos 37½o – cos 7½o
= – 2 sin ½(37½o + 7½o) sin ½(37½o – 7½o)
= – 2sin 22½o sin 15o

 

Catatan :

Untuk mendapatkan sin 22½o bisa dilihat di contoh soal 3

Untuk mendapatkan sin 15o adalah sbb :

cos 2x = 1 – 2 sin2 ½x
dengan mengganti x dengan 15o maka diperoleh
cos 30o = 1 – 2 sin2 15o

Jadi

 

Contoh soal 5 :

sin 10o – sin 110o + sin 130o = …

Jawab :
sin 10o – sin 110o + sin 130o
= (sin 130o – sin 110o) + sin 10o
= 2 cos ½ (130o + 110o) sin ½ (130o – 110o) + sin 10o
= 2 cos 120o sin 10o + sin 10o
= 2(-½)sin 10o + sin 10o
= -sin 10o + sin 10o
= 0

 

Contoh soal 6 :

cos 40o cos 80o + cos 40o cos 160o + cos 80o cos 160o =

Jawab :
cos 40o cos 80o + cos 40o cos 160o + cos 80o cos 160o
=cos 40o (cos 80o +  cos 160o) + cos 160o cos 80o
=cos 40o (cos 160o + cos 80o ) + ½ cos (160o +80o) + ½cos (160o – 80o)
=cos 40o.2cos ½(160o + 80o) cos ½(160o – 80o) + ½ cos 240o + ½ cos 80o
=cos 40o . 2cos 120o  cos 40o – ¼  + ½ cos 80o
=cos 40o . 2(-½) cos 40o – ¼ + ½ (2cos2 40o – 1)
= – cos2 40– ¼ + cos2 40o – ½
= – ¾

 

Contoh soal 7 :

sin 54o – sin 18o = …

Jawab :

sin C – sin D = 2 cos ½(C + D) sin ½(C – D)
sin 54o – sin 18o = …
= 2 cos ½(54o + 18o) sin ½(54o – 18o)
= 2 cos 36o sin 18o

 

Contoh soal 8 :

Buktikan

Jawab :

 

Contoh soal 9 :

Jika A, B, dan C sudut-sudut pada segitiga, buktikan bahwa

sin A + sin B + sin C = 4 cos ½A cos ½B cos ½C

Jawab :

Pada segitiga berlaku A + B + c = 180o

sin A + sin B + sin C
= sin A + sin B + sin (A + B)
= 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A – B) + 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A + B)
= 2 sin ½ (A + B) [cos ½ (A – B) +  cos ½ (A + B)]
= 2sin (90o – ½C) [cos ½A cos ½B + sin ½A sin ½B + cos ½A cos ½B – sin ½A sin ½B]
= 2 cos ½C (2cos ½A cos ½B)
= 4cos ½A cos ½B cos ½C

 

Contoh soal 10 :

Jika A, B, dan C sudut-sudut pada segitiga, buktikan bahwa

cos A + cos B + cos C = 4 sin ½A sin ½B sin ½C + 1

Jawab :

A + B + C = 180o
cos A + cos B + cos C =
= cos A + cos B – cos (A + B)
= 2 cos ½(A + B) cos ½(A – B) – 2 cos2 ½(A + B) + 1
= 2 cos ½(A + B) [cos ½(A – B) – cos ½(A + B)] + 1
= 2 cos (90o – ½C)[cos ½A cos ½B + sin ½A sin ½B – cos ½A cos ½B + sin ½A sin ½B] + 1
= 2 sin ½C [2sin ½A sin ½B] + 1

= 4 sin ½A sin ½B sin ½C + 1

 

 

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Fungsi f(x) dikatakan naik jika f'(x) > 0
Fungsi f(x) dikatakan turun jika f'(x) < 0
Fungsi f(x) dikatakan stasioner jika f'(x) = 0
Fungsi f(x) dikatakan tidak naik jika f'(x) ≤ 0
Fungsi f(x) dikatakan tidak turun jika f'(x) ≥ 0

 

Contoh soal 1 :

Tentukan nilai x agar fungsi f(x) = x2 – 8x – 9 naik

Jawab :
Agar naik maka f'(x) > 0
2x – 8 > 0
x > 4

 

Contoh soal 2 :

Tentukan nilai x agar fungsi f(x) = -2x2 + 12x – 5 turun

Jawab :
Agar turun maka f'(x) < 0
-4x + 12 < 0
-4x < -12
x > 3

 

Contoh soal 3 :

Fungsi f(x) = x3 – 9x2 + 15x – 17 akan naik pada interval ….
Jawab :
Syarat fungsi naiuk adalah f'(x) > 0
3x2 – 18x + 15 > 0
x2 – 6x + 5 > 0
(x -1)(x – 5) > 0
fungsi naik3
x < 1 atau x > 5

 

Contoh soal 4 :

Nilai x yang menyebabkan fungsi f(x) = x4 – 18x2 turun adalah …
Jawab :
Agar turun maka f'(x) < 0
4x2 – 36x < 0
x3 – 9x < 0
x(x2-9) < 0
x(x – 3)(x + 3) < 0

fungsi turun
x < -3 atau 0 < x < 3

 

Contoh soal 5 :

Nilai-nilai x yang menyebabkan fungsi f(x) = -x3 + 6x2 + 36x tidak turun adalah
Jawab :
Agar tidak turun maka f'(x) ≥ 0
-3x2 + 12x + 36 ≥ 0
x2 – 4x – 12 ≤ 0
(x-6)(x+2) ≤ 0

fungsi tidak turun
-2 ≤ x ≤ 6

Contoh soal 6 :

Batas-batas nilai x yang menyebabkan fungsi f(x) = x2 – 4x3 + 4x2 – 10 tidak naik adalah ….

Jawab :

4x3  – 12x2 + 8x ≤ 0
x3  – 3x2 + 2x ≤ 0
x(x2 – 3x + 2) ≤0
x(x -1)(x -2) ≤ 0
fungsi tidak naik
x ≤ 0 atau 1 ≤ x ≤ 2