Archive for November 14, 2014

Rumus Trigonometri Penjumlahan Menjadi Perkalian

Pada bagian sebelumnya ( Rumus Trigonometri Perkalian Menjadi Penjumlahan ) dibahas 4 rumus berikut
2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)
2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)
-2 sin A sin B = cos (A + B) – cos (A – B)

misalkan
A + B = C
A – B = D
jika dijumlahkan                 jika dikurangkan
2A = C + D                       2B = C – D
A = ½(C + D)                    B = ½(C – D)

Dengan demikian rumus di atas bisa diubah menjadi

2 sin ½(C + D) cos ½(C – D) = sin C + sin D
2 cos ½(C + D) sin ½(C – D) = sin C – sin D
2 cos ½(C + D) cos ½(C – D) = cos C + cos D
-2 sin ½(C + D) sin ½(C – D) = cos C – cos D

Penulisan bisa diubah menjadi

sin C + sin D = 2 sin ½(C + D) cos ½(C – D)
sin C – sin D = 2 cos ½(C + D) sin ½(C – D)
cos C + cos D = 2 cos ½(C + D) cos ½(C – D)
cos C – cos D = -2 sin ½(C + D) sin ½(C – D)

 

Contoh soal 1 :

sin 75o + sin 15o = …
Jawab :
sin C + sin D = 2 sin ½(C + D) cos ½(C – D)
sin 75o + sin 15o = 2 sin ½(75o + 15o) cos ½(75o – 15o)
= 2 sin 45o cos 30o
= 2. ½√2 ½√3 = ½√6

 

Contoh soal 2 :

cos 52½o + cos 37½o = …

 

Jawab :

cos C + cos D = 2 cos ½(C + D) cos ½(C – D)

cos 52½o + cos 37½o = 2 cos ½(52½o + 37½o) cos ½(52½o – 37½o)
= 2 cos 45o cos 15o
= 2.½√2. cos (45o – 30o)
= √2 (cos 45o cos 30o + sin 45o sin 30o)
= √2 (½√2.½√3 + ½√2.½)
= √2 (¼ √6 + ¼√2)
= ¼√12 + ¼.2
= ½√3 + ½

 

Contoh soal 3 :

sin 67½o – sin 22½o = …

 

Jawab :

sin C – sin D = 2 cos ½(C + D) sin ½(C – D)

sin 67½o – sin 22½o
= 2 cos ½(67½o + 22½o) sin ½(67½o – 22½o)
= 2 cos 45o sin 22½o

 

Catatan :

cara mencari sin 22½o adalah sbb :
cos 2x = 1 – 2 sin2 ½x
dengan mengganti x dengan 22½o maka diperoleh
cos 45o = 1 – 2 sin2 22½o

Jadi

 

Contoh soal 4 :

cos 37½o – cos 7½o = …

 

Jawab :
cos C – cos D = -2 sin ½(C + D) sin ½(C – D)
cos 37½o – cos 7½o
= – 2 sin ½(37½o + 7½o) sin ½(37½o – 7½o)
= – 2sin 22½o sin 15o

 

Catatan :

Untuk mendapatkan sin 22½o bisa dilihat di contoh soal 3

Untuk mendapatkan sin 15o adalah sbb :

cos 2x = 1 – 2 sin2 ½x
dengan mengganti x dengan 15o maka diperoleh
cos 30o = 1 – 2 sin2 15o

Your ads will be inserted here by

Easy Plugin for AdSense.

Please go to the plugin admin page to
Paste your ad code OR
Suppress this ad slot.

Jadi

 

Contoh soal 5 :

sin 10o – sin 110o + sin 130o = …

Jawab :
sin 10o – sin 110o + sin 130o
= (sin 130o – sin 110o) + sin 10o
= 2 cos ½ (130o + 110o) sin ½ (130o – 110o) + sin 10o
= 2 cos 120o sin 10o + sin 10o
= 2(-½)sin 10o + sin 10o
= -sin 10o + sin 10o
= 0

 

Contoh soal 6 :

cos 40o cos 80o + cos 40o cos 160o + cos 80o cos 160o =

Jawab :
cos 40o cos 80o + cos 40o cos 160o + cos 80o cos 160o
=cos 40o (cos 80o +  cos 160o) + cos 160o cos 80o
=cos 40o (cos 160o + cos 80o ) + ½ cos (160o +80o) + ½cos (160o – 80o)
=cos 40o.2cos ½(160o + 80o) cos ½(160o – 80o) + ½ cos 240o + ½ cos 80o
=cos 40o . 2cos 120o  cos 40o – ¼  + ½ cos 80o
=cos 40o . 2(-½) cos 40o – ¼ + ½ (2cos2 40o – 1)
= – cos2 40– ¼ + cos2 40o – ½
= – ¾

 

Contoh soal 7 :

sin 54o – sin 18o = …

Jawab :

sin C – sin D = 2 cos ½(C + D) sin ½(C – D)
sin 54o – sin 18o = …
= 2 cos ½(54o + 18o) sin ½(54o – 18o)
= 2 cos 36o sin 18o

 

Contoh soal 8 :

Buktikan

Jawab :

 

Contoh soal 9 :

Jika A, B, dan C sudut-sudut pada segitiga, buktikan bahwa

sin A + sin B + sin C = 4 cos ½A cos ½B cos ½C

Jawab :

Pada segitiga berlaku A + B + c = 180o

sin A + sin B + sin C
= sin A + sin B + sin (A + B)
= 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A – B) + 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A + B)
= 2 sin ½ (A + B) [cos ½ (A – B) +  cos ½ (A + B)]
= 2sin (90o – ½C) [cos ½A cos ½B + sin ½A sin ½B + cos ½A cos ½B – sin ½A sin ½B]
= 2 cos ½C (2cos ½A cos ½B)
= 4cos ½A cos ½B cos ½C

 

Contoh soal 10 :

Jika A, B, dan C sudut-sudut pada segitiga, buktikan bahwa

cos A + cos B + cos C = 4 sin ½A sin ½B sin ½C + 1

Jawab :

A + B + C = 180o
cos A + cos B + cos C =
= cos A + cos B – cos (A + B)
= 2 cos ½(A + B) cos ½(A – B) – 2 cos2 ½(A + B) + 1
= 2 cos ½(A + B) [cos ½(A – B) – cos ½(A + B)] + 1
= 2 cos (90o – ½C)[cos ½A cos ½B + sin ½A sin ½B – cos ½A cos ½B + sin ½A sin ½B] + 1
= 2 sin ½C [2sin ½A sin ½B] + 1

= 4 sin ½A sin ½B sin ½C + 1

 

 

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Fungsi f(x) dikatakan naik jika f'(x) > 0
Fungsi f(x) dikatakan turun jika f'(x) < 0
Fungsi f(x) dikatakan stasioner jika f'(x) = 0
Fungsi f(x) dikatakan tidak naik jika f'(x) ≤ 0
Fungsi f(x) dikatakan tidak turun jika f'(x) ≥ 0

 

Contoh soal 1 :

Tentukan nilai x agar fungsi f(x) = x2 – 8x – 9 naik

Jawab :
Agar naik maka f'(x) > 0
2x – 8 > 0
x > 4

 

Contoh soal 2 :

Tentukan nilai x agar fungsi f(x) = -2x2 + 12x – 5 turun

Jawab :
Agar turun maka f'(x) < 0
-4x + 12 < 0
-4x < -12
x > 3

 

Contoh soal 3 :

Fungsi f(x) = x3 – 9x2 + 15x – 17 akan naik pada interval ….
Jawab :
Syarat fungsi naiuk adalah f'(x) > 0
3x2 – 18x + 15 > 0
x2 – 6x + 5 > 0
(x -1)(x – 5) > 0
fungsi naik3
x < 1 atau x > 5

 

Contoh soal 4 :

Nilai x yang menyebabkan fungsi f(x) = x4 – 18x2 turun adalah …
Jawab :
Agar turun maka f'(x) < 0
4x2 – 36x < 0
x3 – 9x < 0
x(x2-9) < 0
x(x – 3)(x + 3) < 0

fungsi turun
x < -3 atau 0 < x < 3

 

Contoh soal 5 :

Nilai-nilai x yang menyebabkan fungsi f(x) = -x3 + 6x2 + 36x tidak turun adalah
Jawab :
Agar tidak turun maka f'(x) ≥ 0
-3x2 + 12x + 36 ≥ 0
x2 – 4x – 12 ≤ 0
(x-6)(x+2) ≤ 0

fungsi tidak turun
-2 ≤ x ≤ 6

Contoh soal 6 :

Batas-batas nilai x yang menyebabkan fungsi f(x) = x2 – 4x3 + 4x2 – 10 tidak naik adalah ….

Jawab :

4x3  – 12x2 + 8x ≤ 0
x3  – 3x2 + 2x ≤ 0
x(x2 – 3x + 2) ≤0
x(x -1)(x -2) ≤ 0
fungsi tidak naik
x ≤ 0 atau 1 ≤ x ≤ 2