Archive for October 16, 2014

Persamaan Trigonometri SMA

Trigonometri merupakan fungsi yang periodik, karena itu penyelesaian persamaan trigonometri memiliki cara terendiri. Siswa SMA terkadang main hantam saja ketika menyelesaiakan persamaan trigonometri tanpa memperdulikan aturan yang ada.

Aturan-aturan dalam persamaan trigonometri
Untuk n bilangan bulat berlaku

sin x = sin θ
x = θ + n.360o
x = 180o – θ + n.360o

 

cos x = cos θ
x = θ + n.360o
x = -θ + n.360o

 

tan x = tan θ
x = θ + n.180o

 

Contoh soal 1

Untuk 0o ≤ x ≤ 360o tentukan himpunan penyelesaian dari
sin 3x = 1/2

Jawab :
sin 3x = 1/2
sin 3x = sin 30o

3x = 30o + n.360o
x = 10o + n.120o
untuk n = 0 maka x = 10o
untuk n = 1 maka x =130o
untuk n = 2 maka x =250o

3x = 180o – 30o + n.360o
x = 50o + n.120o
untuk n = 0 maka x = 50o
untuk n = 1 maka x = 170o
untuk n = 2 maka x = 290o

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{10o, 50o, 130o, 170o, 250o, 290o}

 

Contoh soal 2

Untuk 0o ≤ x ≤ 180o tentukan himpunan penyelesaian dari
cos 5x = 1/2 √2

Jawab :
cos 5x = 1/2 √2
cos 5x = cos 45o

5x = 45o + n.360o
x = 9o + n.72o
untuk n = 0 maka x =9o
untuk n = 1 maka x =81o
untuk n = 2 maka x =153o

5x = -45o + n.360o
x = -9o + n.72o
untuk n = 1 maka x = 63o
untuk n = 2 maka x = 135o

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{9o, 63o, 81o, 135o, 153o}

 

Contoh soal 3

Himpunan penyelesaian dari persamaan
tan 4x = √3        0o ≤ x ≤ 360o
adalah ….

Jawab :

tan 4x = √3
tan 4x = tan 60o
4x = 60o + n.180o
x = 15o + n.45o
untuk n = 0 maka x = 15o
untuk n = 1 maka x = 60o
untuk n = 2 maka x = 105o
untuk n = 3 maka x = 150o
untuk n = 4 maka x = 195o
untuk n = 5 maka x = 240o
untuk n = 6 maka x = 285o
untuk n = 7 maka x = 330o

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{15o, 60o, 105o, 150o, 195o, 240o, 285o, 330o}

 

Contoh soal 4 :

Himpunan penyelesaian dari persamaan
sin 3x = cos 2x
dengan 0o ≤ x ≤ 360o adalah …

Jawab :

sin 3x = cos 2x
sin 3x = sin (90o – 2x)

3x = 90o – 2x + n.360o
5x = 90o + n.360o
x = 18o + n.72o
untuk n = 0 maka x = 18o
untuk n = 1 maka x = 90o
untuk n = 2 maka x = 162o
untuk n = 3 maka x = 234o
untuk n = 4 maka x = 306o

3x = 180o – (90o – 2x) + n.360o
3x = 90o + 2x + n.360o
x = 90o + n.360o
untuk n = 0 maka x = 90o

Jadi, himpunan penyelesaiannya adakah
{18o, 90o, 162o, 234o, 306o}

 

Contoh Soal 5 :

Your ads will be inserted here by

Easy Plugin for AdSense.

Please go to the plugin admin page to
Paste your ad code OR
Suppress this ad slot.

Diketahui persamaan sin 5x + sin 3x = cos x
dengan 0o ≤ x ≤ 360o . Himpunan penyelesaiannya adalah …

Jawab :

sin 5x + sin 3x = √3 cos x
2 sin 1/2 (5x + 3x) cos 1/2 (5x – 3x) = √3 cos x
2 sin 4x cos x = √3 cos x
2 sin 4x cos x – √3 cos x = 0
cos x ( 2 sin 4x – √3) = 0
cos x = 0 atau sin 4x = 1/2 √3

cos x = 0
cos x = cos 90o

x = 90o + n.360o
untuk n = 0 maka x = 90o

x = -90o + n.360o
untuk n = 1 maka x = 270o

sin 4x = 1/2 √3
sin 4x = sin 60o

4x = 60o + n.360o
x = 15o + n.90o
untuk n = 0 maka x = 15o
untuk n = 1 maka x = 105o
untuk n = 2 maka x = 195o
untuk n = 3 maka x = 285o

4x = 180o – 60o + n.360o
4x = 120o + n.360o
x = 30o + n.90o
untuk n = 0 maka x = 30o
untuk n = 1 maka x = 120o
untuk n = 2 maka x = 210o
untuk n = 3 maka x = 300o

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

{15o, 30o, 90o, 105o, 120o, 195o, 210o, 270o, 285o, 300o}

 

Contoh Soal 6 :

Himpunan penyelesaian dari persamaan
√3 tan2 2x – 4tan 2x + √3 = 0
dengan 0o ≤ x ≤ 360o adalah …

Jawab :

√3 tan2 2x – 4tan 2x + √3 = 0

untuk lebih mudahnya kita gunakan rumus ABC

Kemungkinan 1 :

tan 2x = tan 60o
2x = 60o + n.180o
x = 30o + n.90o
untuk n = 0 maka x = 30o
untuk n = 1 maka x = 120o
untuk n = 2 maka x = 210o
untuk n = 3 maka x = 300o

 

Kemungkinan 2 :

tan 2x = tan 30o
2x = 30o + n.180o
x = 15o + n.90o
untuk n = 0 maka x = 15o
untuk n = 1 maka x = 105o
untuk n = 2 maka x = 195o
untuk n = 3 maka x = 285o

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

{15o, 30o, 105o, 120o, 195o, 210o, 285o, 300o}

 

 

Persamaan Garis Singgung Dengan Turunan

Ada beberapa cara untuk menentukan persamaan garis singgung. Mungkin ada yang memakai diskriminan atau rumus-rumus tertentu. Pada kesempatan kali ini saya akan membahas persamaan garis singgung dengan memakai turunan.

Ilustrasi untuk persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) bisa digambarkan sebagai berikut

garis sinngung

 

Nilai x1 = absis sedangkan y1 adalah ordinat. Hubungan antara absis dengan ordinat bisa dinyatakan dengan persamaan kurva, yaitu

y1 = f(x1)

Kemiringan garis (gradien =m) bisa dinyatakan dengan turunan y=f(x) di x1

m = f ‘(x1)

Selanjutnya persamaan garis singgung dengan gradien m dan melalui (x1, y1) bisa dinyatakan dengan

y – y1 = m(x – x1)

Contoh soal 1

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x4 – 3x3 + 6x + 7 di titik yang berabsis 2

Jawab :

x = 2
y = x4 – 3x3 + 6x + 7
y = 24 – 3.23 + 6.2 + 7 = 16 – 24 + 12 + 7 = 11
m = y’ = 4x3 – 9x2 + 6 = 4.23 – 9.22 + 6 = 32 – 36 + 6 = 2

y – y1 = m(x – x1)
y – 11 = 2 (x – 2)
y – 11 = 2x – 4
y = 2x + 7

 

Contoh Soal 2

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 2x3 – 24 di titik yang berordinat 30

Jawab :

y = 30
2x3 – 24 = 30
2x3 = 54
x3 = 27
x = 3
m = y’ = 6x2 = 6.32 = 54

y – y1 = m(x – x1)
y – 30 = 54 (x – 3)
y – 30 = 54x – 162
y = 54x – 132

 

Contoh Soal 3

Persamaan garis singgung pada kurva y = 20 – x4  yang bergradien 32 adalah …

Jawab :

m = 32
y’ = 32
-4x3 = 32
x3 = -8
x = -2
y = 20 – x4 = 20 -(16) = 4

 

y – y1 = m(x – x1)
y – 4 = 32(x + 2)
y – 4 = 32x + 64
y = 32x + 68

 

Contoh Soal 4

Persamaan garis singgung pada kurva y =  x6 + 22 yang tegak lurus dengan garis x + 6y = 72 adalah …

Jawab :

x + 6y = 72
6y = – x + 72
y = -1/6 x + 12
m1 = -1/6
Karena tegak lurus maka
m1.m2 = -1
m2 = 6

y =  x6 + 22
y’ = m2
6x5 = 6
x5 = 1
x = 1
y =  x6 + 22
y =  16 + 22 = 23

y – y1 = m(x – x1)
y – 23 = 6(x -1)
y – 23 = 6x – 6
y = 6x + 17

 

Contoh Soal 5

Garis singgung kurva y = sin 2x di titik yang berabsis π memotong sumbu y pada koordinat …

Jawab :

x = π
y = sin 2x = sin 2π = 0
m = y’ = 2 cos 2x = 2cos 2π = 2 (-1) = -2

y – y1 = m(x – x1)
y – 0 = -2(x – π)
y = -2x + 2π
titik potong sumbu y → x = 0
y = 0 + π = π
Koordinat titik potong sumbu y adalah (0, π)

 

Contoh Soal 6

Persamaan garis singgung kurva y = 0,5x2 – 7x + 2 yang membentuk sudut 45o dengan sumbu x positif memotong garis y = 9 – 2x pada koordinat

Jawab :

m = tan 45o = 1
y = 0,5x2 – 7x + 2
y’ = m
x – 7 = 1
x = 8
y = 0,5x2 – 7x + 2
y = 0,5.82 – 7.8 + 2
y = 32 – 56 + 2 = -22
y – y1 = m(x – x1)
y + 22 = 1.(x – 8)
y = x – 30

Selanjutnya kita cari titik potong antara y = 9 – 2x dengan y = x – 30
x – 30 = 9 – 2x
3x = 39
x = 13
y = x – 30 = 13 – 30 = -17

Koordinat titik potongnya (13, -17)

 

Contoh Soal 7

Garis singgung parabola y = x2 + 10x + 7 di titik yang berabsis 1 menyinggung kurva y = ax3 + b di titik yang berabsis 4. Nilai b = …

Jawab :

x = 1 maka
y = x2 + 10x + 7
y = 12 + 10.1 + 7 = 18
m = y’ = 2x + 10 = 2.1 + 10 = 12
y – y1 = m(x – x1)
y – 18 = 12 (x – 1)
y – 18 = 12x – 12
y = 12x + 6

y = ax3 + b
y’ = m
3ax2 = 12
karena menyinggung di x = 4 maka
3a.42=12
48a = 12
a = 1/4
Kurva menjadi y = 1/4 x3 + b
garis singgung y = 12x + 6
saat x = 4 maka y = 48 + 6 = 54
maka kurva y = 1/4 x3 + b melalui (4, 54)
54 = 1/4 . 43 + b
54 = 16 + b
b = 38

 

Contoh soal 8

Garis g menyinggung kurva y = x3 – 3x2 + 5x – 10 di titik potongnya dengan garis y=5. Persamaan garis lain yang sejajar g dan menyinggung kurva tersebut adalah ….

Jawab :

Titik potong kuva dengan garis y = 5
x3 – 3x2 + 5x – 10 = 5
x3 – 3x2 + 5x – 15 = 0
x2 (x – 3) + 5(x – 3) = 0
(x2 + 5)(x – 3) = 0
x2 = -5 (tidak mungkin)
x = 3
m = y’ = 3x2 – 6x + 5
m = 3.32 – 6.3 + 5
m = 27 – 18 + 5 = 14

Sekarang kita cari absis titik singgung garis yang lain. Karena sejajar maka gradiennya tetap 14
m = 14
y’ = 14
3x2 – 6x + 5 = 14
3x2 – 6x – 9 = 0
x2 – 2x – 3 = 0
(x – 3)(x + 1) = 0
x = 3 (tidak memenuhi, sebab ini adalah absis titik singgung garis g)
x = -1
y = x3 – 3x2 + 5x – 10
y = (-1)3 – 3(-1)2 + 5(-1) – 10
y = -1 – 3 – 5 – 10 = -19
y – y1 = m(x – x1)
y + 19 = 14 ( x + 1)
y + 19 = 14x + 14
y = 14x – 5