Archive for September 19, 2014

Irisan Kerucut Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya sama terhadap titik tertentu.

Yang dimaksud dengan titik tertentu adalah titik pusat, jaraknya sama disebut jari-jari

irisan kerucut lingkaran

Pada segitiga siku-siku yang ada di gambar, berlaku pythagoras, yaitu :

x2 + y2 = r2

Bentuk teakhir ini disebut persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan berjari-jari r

Jika lingkaran berpusat di (a, b) maka bisa digambar sebagai berikut

persamaan lingkaran

dengan memakai pythagoras kita akan mendapatkan

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

 

Selanjutnya jika persamaan ini kita uraikan maka diperoleh

x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0

Bentuk ini bisa kita ubah sebagai berikut

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

dengan

A = -2a → a = -1/2 A

B = -2b → b = -1/2 B

a2 + b2 – r2 = C

r2 =a2 + b2 – C

Jadi, bentuk umum persamaan lingkaran adalah

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

dengan Pusat

dan jari-jari

 

Contoh soal 1

Persamaan lingkaran dengan pusat (3, 6) dengan jari-jari 7 adalah ….

Jawab :

(a, b) = (3, 6) dengan R = 7
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
(x – 3)2 + (y – 6)2 = 72
x2 – 6x + 9 + y2 – 12y + 36 = 49
x2 + y2 – 6x – 12y – 4 = 0

 

Contoh soal 2

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 + 8x – 6y – 24 = 0

 

Jawab :

A = 8    B = -6    C = -24

Pusat

Jari-Jari

 

Contoh soal 3 :

Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (2,-5) dan menyinggung sumbu y

Jawab :

lingkaran menyinggung sumbu y

Pusat (a, b) = (2, -5) dan R = 2 maka
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
(x – 2)2 + (y + 5)2 = 22
x2 – 4x + 4 + y2 + 10y + 25 = 4
x2+y2-4x + 10y + 25 =0

 

Contoh soal 4 :

Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (2,-5) dan menyinggung sumbu y

Jawab :

lingkaran menyinggung sumbu x

Pusat (a, b) = (2, -5) dan R = 5 maka
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
(x – 2)2 + (y + 5)2 = 52
x2 – 4x + 4 + y2 + 10y + 25 = 25
x2+y2-4x + 10y + 4 =0

 

Contoh soal 5 :

Persamaan lingkaran (2t -3)x2 + (9-t)y2 +50x – 40y -115 = 0 memiliki pusat dan jari-jari …

 

Jawab :

agar persamaan di atas menjadi persamaan lingkaran maka

koefisien x2 = koefisien y2

2t – 3 = 9 – t

3t = 12

t = 4

sehingga

5x2 + 5y2 +50x – 40y -115 = 0

x2 + y2 +10x – 8y -23 = 0

A = 10    B = -8  C = -23

Pusat

Jari-Jari

 

Contoh soal 6 :

Jika A (-3, -5) dan B(7, 1) maka persamaan lingkaran dengan diameter AB adalah ….

Jawab : 

lingkaran dengan diameter

Pusat

(x-a)2 +(y-b)2 = R2
(x-2)2 +(y+2)2 = R2
Lingkaran melalui (7, 1) sehingga
(7-2)2 +(1+2)2 = R2
25 + 9 = R2
R2 = 41
Jadi persamaan lingkarannya adalah
(x-2)2 +(y+2)2 = 41
x2 – 4x + 4 + y2 + 4y + 4 = 41
x2 + y2 – 4x + 4y – 33 = 0

 

 

 

Sistem Persamaan Linear 4 Variabel

Sistem persamaan linear 4 variabel adalah himpunan 4 persamaan yang memiliki 4 variabel. Jika kurang dari 4 persamaan tentunya persamaan memiliki tak terhingga penyelesaian, dan jika ada 5 persamaan atau lebih, bisa jadi tidak memiliki penyelesaian dan terjadi kontadiksi.

Untuk meyelesaiakan sistem persamaan linear 4 variabel maka bentuk ini kita sederhanakan menjadi sistem persamaan linear 3 variabel (tentunya ada 3 persamaan), baru kemudian kita sederhanakan menjadi sistem persamaan linear 2 variabel.

Contoh soal

Tentukan himpunan penyelesaian dari

2a + 3b + c + d = 12

a + b + 5c – d = 15

3a + 2b + 2c + 4d = 9

4a – b + 3c + 2d = 5

 

Jawab :

Sekarang kita coba menyelesaiakan dengan metoda eliminasi

Setiap persamaan kita beri nama persamaan (1), (2) , (3) dan (4)

2a + 3b + c + d = 12 ……………………………………(1)

a + b + 5c – d = 15 ………………………………………(2)

3a + 2b + 2c + 4d = 9 ……………………………………(3)

4a – b + 3c + 2d = 5 ……………………………………..(4)

Langkah awal kita harus membuat 3 persamaan dengan 3 variabel. Untuk itu kita harus mengeliminasi salah saru variabel. Untuk contoh ini misalnya saya akan mengeliminasi d

Sekarang kita pilih persamaan (1) dan (2) untuk dijumlahkan

2a + 3b + c + d = 12

a +    b + 5c – d = 15__________  +

3a + 4b + 6c = 27 …………………………………….(5)

Selanjutnya persamaan (2) dengan (3)

a + b + 5c – d = 15      |4|→ 4a + 4b + 20c – 4d = 60

3a + 2b + 2c + 4d = 9  |1|→ 3a + 2b + 2c + 4d = 9 ______ +

.                                      7a + 6b + 22c = 69 …………………….(6)

Sekarang persamaan (2) dengan (4)

a + b + 5c – d = 15    |2|→ 2a + 2b + 10c – 2d = 30

4a – b + 3c + 2d = 5   |1|→ 4a – b + 3c + 2d = 5           +

.                                      6a + b + 13c = 35 …………………….(7)

Sekarang kita telah memiliki sistem persamaan linear 3 variabel, yaitu persamaan (5), (6), dan (7). Dari sini akan kita bentuk menjadi 2 persamaan tanpa variabel b

sekarang kita pilih persamaan (7) dan (5)

6a + b + 13c = 35   |4| → 24a + 4b + 52c = 140

3a + 4b + 6c = 27   |1| →  3a + 4b  + 6c  =  27      _

.                                    21a        + 46c = 113  …………….(8)

sekarang kita ambil persamaan (7) dan (6)

6a + b + 13c = 35   |6| → 36a + 6b + 78c = 210

7a + 6b + 22c = 69  |1|→ 7a   + 6b + 22c = 69        _

.                                          29a + 56c = 141 ……………..(9)

Langkah terakhir kita eliminasi persamaan (8) dan (9)

21a + 46c = 113   |29| → 609a + 1334c = 3277

29a + 56c = 141   |21| → 609a + 1176c = 2961        _

.                                              158c = 316

.                                                   c = 2

21a + 46c = 113

21a + 46.2 = 113

21a + 92 = 113

21a = 21 → a = 1

 

6a + b + 13c = 35

6.1 + b + 13.2 = 35

6 + b + 26 = 35

32 + b = 35 → b = 3

 

2a + 3b + c + d = 12

2.1 + 3.3 + 2 + d = 12

2 + 9 + 2 + d = 12

13 + d = 12

d = -1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 3, 2, -1)}