Archive for September 19, 2014

Irisan Kerucut Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya sama terhadap titik tertentu.

Yang dimaksud dengan titik tertentu adalah titik pusat, jaraknya sama disebut jari-jari

irisan kerucut lingkaran

Pada segitiga siku-siku yang ada di gambar, berlaku pythagoras, yaitu :

x2 + y2 = r2

Bentuk teakhir ini disebut persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan berjari-jari r

Jika lingkaran berpusat di (a, b) maka bisa digambar sebagai berikut

persamaan lingkaran

dengan memakai pythagoras kita akan mendapatkan

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

 

Selanjutnya jika persamaan ini kita uraikan maka diperoleh

x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0

Bentuk ini bisa kita ubah sebagai berikut

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

dengan

A = -2a → a = -1/2 A

B = -2b → b = -1/2 B

a2 + b2 – r2 = C

r2 =a2 + b2 – C

Jadi, bentuk umum persamaan lingkaran adalah

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

dengan Pusat

dan jari-jari

 

Contoh soal 1

Persamaan lingkaran dengan pusat (3, 6) dengan jari-jari 7 adalah ….

Jawab :

(a, b) = (3, 6) dengan R = 7
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
(x – 3)2 + (y – 6)2 = 72
x2 – 6x + 9 + y2 – 12y + 36 = 49
x2 + y2 – 6x – 12y – 4 = 0

 

Contoh soal 2

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 + 8x – 6y – 24 = 0

 

Jawab :

A = 8    B = -6    C = -24

Pusat

Jari-Jari

Your ads will be inserted here by

Easy Plugin for AdSense.

Please go to the plugin admin page to
Paste your ad code OR
Suppress this ad slot.

 

Contoh soal 3 :

Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (2,-5) dan menyinggung sumbu y

Jawab :

lingkaran menyinggung sumbu y

Pusat (a, b) = (2, -5) dan R = 2 maka
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
(x – 2)2 + (y + 5)2 = 22
x2 – 4x + 4 + y2 + 10y + 25 = 4
x2+y2-4x + 10y + 25 =0

 

Contoh soal 4 :

Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (2,-5) dan menyinggung sumbu y

Jawab :

lingkaran menyinggung sumbu x

Pusat (a, b) = (2, -5) dan R = 5 maka
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
(x – 2)2 + (y + 5)2 = 52
x2 – 4x + 4 + y2 + 10y + 25 = 25
x2+y2-4x + 10y + 4 =0

 

Contoh soal 5 :

Persamaan lingkaran (2t -3)x2 + (9-t)y2 +50x – 40y -115 = 0 memiliki pusat dan jari-jari …

 

Jawab :

agar persamaan di atas menjadi persamaan lingkaran maka

koefisien x2 = koefisien y2

2t – 3 = 9 – t

3t = 12

t = 4

sehingga

5x2 + 5y2 +50x – 40y -115 = 0

x2 + y2 +10x – 8y -23 = 0

A = 10    B = -8  C = -23

Pusat

Jari-Jari

 

Contoh soal 6 :

Jika A (-3, -5) dan B(7, 1) maka persamaan lingkaran dengan diameter AB adalah ….

Jawab : 

lingkaran dengan diameter

Pusat

(x-a)2 +(y-b)2 = R2
(x-2)2 +(y+2)2 = R2
Lingkaran melalui (7, 1) sehingga
(7-2)2 +(1+2)2 = R2
25 + 9 = R2
R2 = 41
Jadi persamaan lingkarannya adalah
(x-2)2 +(y+2)2 = 41
x2 – 4x + 4 + y2 + 4y + 4 = 41
x2 + y2 – 4x + 4y – 33 = 0

 

 

 

Sistem Persamaan Linear 4 Variabel

Sistem persamaan linear 4 variabel adalah himpunan 4 persamaan yang memiliki 4 variabel. Jika kurang dari 4 persamaan tentunya persamaan memiliki tak terhingga penyelesaian, dan jika ada 5 persamaan atau lebih, bisa jadi tidak memiliki penyelesaian dan terjadi kontadiksi.

Untuk meyelesaiakan sistem persamaan linear 4 variabel maka bentuk ini kita sederhanakan menjadi sistem persamaan linear 3 variabel (tentunya ada 3 persamaan), baru kemudian kita sederhanakan menjadi sistem persamaan linear 2 variabel.

Contoh soal

Tentukan himpunan penyelesaian dari

2a + 3b + c + d = 12

a + b + 5c – d = 15

3a + 2b + 2c + 4d = 9

4a – b + 3c + 2d = 5

 

Jawab :

Sekarang kita coba menyelesaiakan dengan metoda eliminasi

Setiap persamaan kita beri nama persamaan (1), (2) , (3) dan (4)

2a + 3b + c + d = 12 ……………………………………(1)

a + b + 5c – d = 15 ………………………………………(2)

3a + 2b + 2c + 4d = 9 ……………………………………(3)

4a – b + 3c + 2d = 5 ……………………………………..(4)

Langkah awal kita harus membuat 3 persamaan dengan 3 variabel. Untuk itu kita harus mengeliminasi salah saru variabel. Untuk contoh ini misalnya saya akan mengeliminasi d

Sekarang kita pilih persamaan (1) dan (2) untuk dijumlahkan

2a + 3b + c + d = 12

a +    b + 5c – d = 15__________  +

3a + 4b + 6c = 27 …………………………………….(5)

Selanjutnya persamaan (2) dengan (3)

a + b + 5c – d = 15      |4|→ 4a + 4b + 20c – 4d = 60

3a + 2b + 2c + 4d = 9  |1|→ 3a + 2b + 2c + 4d = 9 ______ +

.                                      7a + 6b + 22c = 69 …………………….(6)

Sekarang persamaan (2) dengan (4)

a + b + 5c – d = 15    |2|→ 2a + 2b + 10c – 2d = 30

4a – b + 3c + 2d = 5   |1|→ 4a – b + 3c + 2d = 5           +

.                                      6a + b + 13c = 35 …………………….(7)

Sekarang kita telah memiliki sistem persamaan linear 3 variabel, yaitu persamaan (5), (6), dan (7). Dari sini akan kita bentuk menjadi 2 persamaan tanpa variabel b

sekarang kita pilih persamaan (7) dan (5)

6a + b + 13c = 35   |4| → 24a + 4b + 52c = 140

3a + 4b + 6c = 27   |1| →  3a + 4b  + 6c  =  27      _

.                                    21a        + 46c = 113  …………….(8)

sekarang kita ambil persamaan (7) dan (6)

6a + b + 13c = 35   |6| → 36a + 6b + 78c = 210

7a + 6b + 22c = 69  |1|→ 7a   + 6b + 22c = 69        _

.                                          29a + 56c = 141 ……………..(9)

Langkah terakhir kita eliminasi persamaan (8) dan (9)

21a + 46c = 113   |29| → 609a + 1334c = 3277

29a + 56c = 141   |21| → 609a + 1176c = 2961        _

.                                              158c = 316

.                                                   c = 2

21a + 46c = 113

21a + 46.2 = 113

21a + 92 = 113

21a = 21 → a = 1

 

6a + b + 13c = 35

6.1 + b + 13.2 = 35

6 + b + 26 = 35

32 + b = 35 → b = 3

 

2a + 3b + c + d = 12

2.1 + 3.3 + 2 + d = 12

2 + 9 + 2 + d = 12

13 + d = 12

d = -1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 3, 2, -1)}