Archive for August 19, 2014

Integral Trigonometri

Integral trigonometri merupakan integral yang menggunakan fungsi-fungsi trigonometri

Berikut ini adalah rumus-rumus integral trigonometri

∫ cos x dx = sin x + c

∫ sin x dx = -cos x + c

∫ sec2 x = tan x + c

∫ csc2 x = -cot x + c

∫sec x tan x = sec x + c

∫ csc x cot x = – csc x + c

Selanjutnya rumus-rumus yang ada bisa diperluas menjadi

∫ cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + c

∫ sin (ax + b) dx = -1/a cos (ax + b) + c

∫ sec2 (ax + b) =  1/a tan (ax + b) + c

∫ csc2 (ax + b) = – 1/a cot (ax + b) + c

∫sec (ax + b) tan (ax + b) = 1/a sec (ax + b) + c

∫ csc (ax + b) cot (ax + b) = – 1/a csc (ax + b) + c

 

Biar lebih mudah langsung ke contoh soal saja ya

Contoh 1

∫(cos 7x + sin 5x) dx = ….

Jawab :

∫(cos 7x + sin 5x) dx = 1/7 cos 7x – 1/5 cos 5x + c

 

Contoh 2 :

∫(x – 1) sin (x2 – 2x + 5) dx = …

Jawab :

misal

y = x2 – 2x + 5

dy/dx = 2x – 2

dx = dy/(2x – 2) = 1/2 dy/(x – 1)

Jadi,

∫(x – 1) sin (x2 – 2x + 5) dx

= ∫(x – 1) sin y 1/2 dy/ (x -1)

= ∫ 1/2 sin y dy

= – 1/2 cos y + c

= – 1/2 cos (x2 – 2x + 5) + c

 

Contoh 3 :

∫ (x2 – 4x) cos (x3 – 6x2 + 7) dx = …

Jawab :

misal y = x3 – 6x2 + 7

maka dy/dx = 3x2 – 12x

sehingga dx = dy/(3x2 – 12x)

atau  dx = 1/3 dy/(x2 – 4x)

Jadi

∫ (x2 – 4x) cos (x3 – 6x2 + 7) dx

= ∫ (x2 – 4x) cos y 1/3 dy/(x2 – 4x)

= 1/3 ∫ cos y dy

= 1/3 sin y + c

= 1/3 sin (x3 – 6x2 + 7) + c

 

Sebelum kita lanjutan ke contoh berikutnya, ungat baik-baik rumus-rumus trigonometri berikut

2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)

2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)

-2 sin A sin B = cos (A + B) – cos (A – B)

 

Contoh 4 :

∫ 2 cos 7x cos 2x dx = ….

Jawab :

∫ 2 cos 7x cos 2x dx

= ∫ cos 9x + cos 5x dx

= 1/9 sin 9x + 1/5 sin 5x + c

 

Contoh 5

∫ sin 5x cos 3x dx = …

Jawab :

∫ sin 5x cos 3x dx

= 1/2 ∫ (sin 8x + sin 2x) dx

= 1/2 ( – 1/8 cos 8x – 1/2 cos 2x) + c

= – 1/16 cos 8x – 1/4 cos 2x + c

 

Contoh 6 :

∫ sin 6x sin 3x dx = …

Jawab :

∫ sin 6x sin x dx

= – 1/2 ∫ (cos 7x – cos 5x) dx

= – 1/2 ( 1/7 sin 7x – 1/5 sin 5x) + c

= – 1/14 sin 7x + 1/10 sin 5x + c

 

Ingat juga rumus-rumus berikut

sin2 x = 1/2 – 1/2 cos 2x

cos2 x = 1/2 + 1/2 cos 2x

 

Contoh 7 :

∫ cos2 x dx =  …

Jawab :

∫ cos2 x dx

=  ∫ ( 1/2 + 1/2 cos 2x) dx

= 1/2 x + 1/4 sin 2x + c

 

Contoh 8 :

∫sin2 x dx = …

Jawab :

∫sin2 x dx

=  ∫ ( 1/2 – 1/2 cos 2x) dx

= 1/2 x – 1/4 sin 2x + c

 

Contoh 9 :

∫ cos2 3x dx

Jawab :

∫ cos2 3x dx

=  ∫ ( 1/2 + 1/2 cos 6x) dx

= 1/2 x + 1/14 sin 2x + c

 

Contoh 10 :

∫sin2 7x dx

Jawab :

∫ sin2 7x dx

=  ∫ ( 1/2 – 1/2 cos 14x) dx

= 1/2 x + 1/28 sin 14x + c

 

Contoh 11 :

∫ cos4 x dx

Jawab :

∫ cos4 x dx

=∫ (cos2 x)2 dx

= ∫ (1/2 + 1/2 cos 2x)2 dx

= ∫ (1/4 + 1/2 cos 2x + 1/4 cos2 2x) dx

= ∫ (1/4 + 1/2 cos 2x + 1/4 (1/2 + 1/2 cos 4x)) dx

= ∫ (1/4 + 1/2 cos 2x + 1/8 + 1/8 cos 4x) dx

= ∫ (3/8 + 1/2 cos 2x + 1/8 cos 4x) dx

= 3/8 x + 1/4 sin 2x + 1/32 sin 4x + c

 

Contoh 12 :

∫sin4 x dx = …

Jawab :

∫sin4 x dx

=∫ (sin2 x)2 dx

= ∫ (1/2 – 1/2 cos 2x)2 dx

= ∫ (1/4 – 1/2 cos 2x + 1/4 cos2 2x) dx

= ∫ (1/4 – 1/2 cos 2x + 1/4 (1/2 + 1/2 cos 4x)) dx

= ∫ (1/4 – 1/2 cos 2x + 1/8 + 1/8 cos 4x) dx

= ∫ (3/8 – 1/2 cos 2x + 1/8 cos 4x) dx

= 3/8 x – 1/4 sin 2x + 1/32 sin 4x + c

 

 

Integral Tertentu

Integral tertentu merupakan integral yang memiliki batas. Batas-batas yang diberikan biasanya berupa konstanta. Akan tetapi tidak menutup kemungkinan batas-batas itu berupa variabel juga. Setelah berhasil mengintegralkan batas tadi kita substitusikan. Pertama kita substitusikan batas atas ke dalam fungsi hasil integral, kemudian dikurangi hasil substitusi batas bawah pada fungsi hasil integral.

 

Contoh 1

integral tentu

Jawab :

integral tentu 1

.                     = 53 – 3.52 – (23 – 3.22)

.                     = 125 – 75 – (8 – 12) = 54

 

Contoh 2 :

integral tentu 2

Jawab :

integral tentu 2a

.               = – cos π/2  + cos 0

.                = 0 + 1 = 1

 

 

Sifat-sifat integral tentu

sifat integral tentu

 

contoh 3 :

integral tentu 3

Jawab :

integral tentu 3a

Jadi

integral tentu 3b

.                = 10 + 4 = 14

 

 Contoh 4 :

integral tentu 4

Jawab :

misal y = sin x

maka

x = 0 → y = 0

x = π/2 → y = 1

dy/dx = cos x   maka dx = dy/cos x

integral tentu 4a

 

Contoh 5 :

integral tentu 5

Jawab :

integral tentu 5a

Dengan demikian diperoleh

integral tentu 5b

.                       = 26 + 19 + 36 – 1 = 80

 

Contoh 6 :

integral tentu 6

Jawab :

integral tentu 6a

Langkah selanjutnya adalah kita misalkan

y = 4x – 3

x = 1 → y = 1

x = 3 → y = 9

integral tentu 6b