Archive for December 17, 2013

Barisan Dan Deret

Barisan merupakan pemertaan dari dengan domain bilangan asli. Ada juga yang mendefinisikan barisan adalah bilangan bilangan yang disusun menurut aturan tertentu. Pada tersusun atas beberapa suku yang ditulis sebagai

U1, U2, U3, U4, …..Un

Un menyatakan suku ke-n

 

Deret merupakan jumlah suku-suku pada barisan, sehiongga bisa ditulis menjadi

Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + …..+ Un

Sn disebut jumlah n suku pertama

 

Dengan demikian kita bisa menyimpulkan

S3 = U1 + U2 + U3

S2 = U1 + U2

S1 = U1

Jadi

S2 – S1 = U2

S3 – S2 = U3

S4 – S3 = U4

S9 – S8 = U9

Atau kalau dibalik

U12 = S12 – S11

U15 = S15 – S14

Secara umum bisa ditulis

Un = Sn – Sn-1

 

Un = suku ke n

Sn = jumlah n suku pertama

Untuk siswa tingkat SMA, kita hanya mempelajari Deret Aritmetika dan Deret Geometri

 

Deret Aritmetika

 

Ciri-ciri Deret aritmetika, selisih antara dua suku yang berurutan adalah tetap

Jadi

U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = Un – Un-1 = b

b = beda deret

a = suku pertama

U1 = a

U2 – U1 = b maka U2 = U1 + b = a + b

U3 – U2 = b maka U3 = U2 + b = a + 2b

U4 – U3 = b maka U4 = U3 + b = a + 3b

Jadi, secara umum

Un = a + (n – 1) b

Dari sini bisa kita tulis

Un+1 = a + nb

Un-1 = a + (n – 2) b

U2n = a + (2n – 1) b

dan seterusnya

Jumlah n suku pertama bisa dinyatakan dengan

Sn = U1 + U2 + ….+ Un-1 + Un

Sehingga

Sn = a             +   a + b      + ….+ a + (n-2)b + a + (n -1)b

Sn = a + (n-1)b + a + (n-2)b + ….+ a + b        + a                      +

2Sn = 2a+(n-1)b +2a+(n-1)b + ….+2a+(n-1)b  + 2a+(n-1)b

2Sn = n(2a+(n-1)b)

deret aritmetika

 

Deret Geometri

Ciri-ciri deret geometri adalah rasionya (pembandingnya) tetap

deret geometri

r = rasio

a = suku pertama

U1 = a

U2 = U1.r = ar

U3 = U2 r = ar2

U4 = U3r = ar3

Jadi, secara umum

Un = arn – 1

 

Sn = U1 + U2 + U3 + ….+ Un-1 + Un

maka :

Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ….+ arn – 2 + arn – 1

rSn =     ar + ar2 + ar3 + …………….+ arn – 1 + arn

Jika kedua persamaan terakhir dikurangkan maka diperoleh

Sn – rSn = a – arn  

(1-r) Sn = a(1 – rn)

 

Soal-Soal Barisan Dan Deret

 

Soal 1 :

Dari bilangan-bilangan 700, 691, 682, 673, …… maka bilangan yang pertama kali negatif adalah …

Jawab :

a = 700     b = 691 – 700 = –9

Un < 0

a + (n – 1) b < 0

700 + (n – 1)(–9) < 0

700 – 9n + 9 < 0

– 9n < – 709

karena n bulat maka n yang memenuhi adalah

79, 80, 81, 82 , 83 ……dst

Karena yang diminta bilangan yang pertama maka n = 79

Un = a + (n – 1) b = 700 + (79 – 1)(–9)

= 700 + 78(–9) = 700 – 702 = –2

Jadi bilangan negatif yang pertama dalam barisan tersebut adalah –2

 

Soal 2 :

Diketahui deret aritmetika dengan suku ke 5 adalah 41 dan suku ke 9 adalah 73. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah …

Jawab :

U5 = 41 maka a + 4b = 41

U9 = 73 maka a + 8b = 73

Jika kita eliminasi maka

a + 8b = 73

a + 4b = 41    _

.     4b = 32 maka b = 8

a + 4b = 41

a + 32 = 41

a = 9

S20 = 10(18 + 152) =1700

 

Soal 3 :

Pada barisan geometri diketahui U1 = k x + 1,  U2= k2x – 2 , dan U8 = k3x   maka x = …

Jawab :

a = U1 = k x + 1

U2= ar = k2x – 2

k x + 1 . r = k2x – 2

U8 = k3x

ar = k3x dd

k x + 1 . (kx – 3) = k3x

k x + 1 .k7x – 21 = k3x

k x + 1 + 7x – 21 = k3x

k 8x – 20 = k3x

8x – 20 = 3x

5x = 20

x = 4