Archive for January 20, 2013

Sistem Persamaan Linear Dan Kuadrat

Soal-soal Sistem persamaan linear dan kuadrat serta pembahasannya :

Tentukan himpunan penyelesaian dari sitem persamaan berikut

1. y = x2              y = 3x + 10

2. x + y = 8            x2 – y2 = 16

3. x – y = 4            x2 + y2 = 26

4. 4x – 3y = 0         x2 + y2 = 25

 

Jawab :

1. y = x2              y = 3x + 10

maka  x2 = 3x + 10

 

x2 – 3x – 10  = 0

(x – 5)(x + 2) = 0

x = 5 atau x = -2

dengan mensubstitusi ke  y = x2 diperoleh

 

y = 25 atau y = 4

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(-2, 4), (5, 25)}

2. x + y = 8            x2 – y2 = 16

Cara I :

y = 8 – x

x2 – y2 = 16

 

x 2  – (8 – x) 2  = 16

x2  – (64 – 16x + x 2 ) = 16

 

x2  – 64 + 16x – x 2  = 16

 

16x = 80

x = 5

y = 8 – x = 8 – 5 = 3

 

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {5, 3}

 

Cara II :

x2 – y2 = 16

 

(x + y)(x – y) = 16

8(x – y) = 16

x – y = 2

selanjutnya kita lakukan eliminasi

x + y = 8

x – y = 2       +

2x = 10 maka x = 5

dan y = 3

jadi himpunan penyelesaiannya adalah {5,3}

 

3. x – y = 4            x2 + y2 = 26

 

y = x – 4

x2 + y2 = 26

x2  + (x – 4)2  = 26

x2  + x2 – 8x + 16 = 26

2x2  – 8x – 10 = 0

x2  – 4x – 5 = 0

(x – 5)(x + 1) = 0

x = 5 atau x = -1

Dengan mensubstitusi ke persamaan  y = x – 4 diperoleh

y = 1 atau y = -6

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah  {(-1, -6), (5, 1)}

 

4. 4x – 3y = 0         x2 + y2 = 25

4x = 3y

x = (3/4)y

x2 + y2 = 25

[(3/4)y]2 +  y2 = 25

(9/16)y2 + y2 = 25

Jika kedua ruas dikali dengan 16 maka diperoleh

9y2 + 16y2  = 400

25y2  = 400

y2  = 16

maka y = ±4

x = (3/4)y

untuk y = -4 maka x = -3

untuk y = 4 maka x = 3

 

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(-4, -3), (4, 3)}

 

 

 

 

Belajar Logaritma

Untuk belajar logaritma, anda harus memahadi definisi trlebih dahulu.

 

Definisi Logaritma

Jika ab = c maka berlaku bahwa b = alog c

a disebut basis atau bilangan pokok

c disebut numerus

Syarat basis dan numerus adalah

0 < a < a atau a > 1

c > 0

Sifat-sifat logaritma :

1.alog ab = b

2.

3.

4. alog b + alog c = alog bc

5.alog b – alog c = alog b/c

6. alog bn = n alog b

7.

8.

9. alog b. blog c = alog c

10.

11.

 

Contoh soal

1. Jika log 3 = k maka log 81 = …

Jawab :

log 81 = log 34 = 4log 3 = 4k

 

2. Jika log 5 = x dan log 7 = y maka

a. log 35 = …

b. log 1,4 = …

c. log 2 = ….

Jawab :

a. log 35 = log (5.7) = log 5 + log 7 = x + y

b. log 1,4 = log (7/5) = log 7 – log 5 = y – x

c. log 2 = log (10/5) = log 10 – log 5 = 1 – x

 

3. Nilai x yang memenuhi persamaan

2log (x2 – 8 x +7) = 4

adalah …

Jawab :

x2 – 8 x +7 = 24  = 16

x2 – 8 x – 9 = 0

(x – 9)(x + 1) = 0

x = 9 atau x = -1

 

4. Nilai x yang memenuhi persamaan

3log (x-9) + 3log (x – 1) = 2

adalah ….

 

Jawab :

3log (x-9) + 3log (x – 1) = 2

3log (x-9)(x – 1) = 2

3log (x2 – 10x + 9) = 2

x2 – 10x + 9 = 32 = 9

x2 – 10x = 0

x(x – 10) = 0

x = 0 atau x = 10

x = 0 tidak memenuhi karena menyebabkan numerus x- 1 negatif

Jadi nilai x yang memenuhi adalah 10

 

5. Nilai x yang memenuhi persamaan

adalah …

 

Jawab :

xlog 2 = 25

log xlog 2 = log 25

log 2 . log x = 5 log 2

log x = 5

x = 105

x = 100.000