Archive for November 25, 2012

Materi Logaritma SMA

Materi logaritma SMA cenderung hanya memberikan sifat-sifat logaritma dan pembahasan soal-soal. Jarang ada yang membuktikan semua rumusnya. Melalui tulisan ini saya akan membuktikan semua rumus-rumusnya

 

Logaritma merupakan invers dari eksponen. Secara definisi logaritma dinyatakan sebagai berikut

Jika ab = c maka b = alogc

a disebut basis

c disebut numerus

c > 0

0 < a < 1 atau a > 1

Sifat 1 :

Jika ab = c ………………………(1)

maka b = alogc …………………(2)

Dengan mensubstitusi persamaan (1) ke persamaan (2) maka

alog ab = b

 

Sifat 2

Misalkan

ax = b maka x = alog b

ay = cmaka y = alog c

Jika dikaliakan maka

ax.ay = bc

sehingga ax+y = bc

jadi x + y = alog bc

Dengan mengganti x dan y maka diperoleh

alog b + alog c = alog bc

Sekarang kita lakukan pembagian

ax/ay = b/c

ax – y = b/c

x-y = alog bc

sekarang kita ganti x dan y nya

alog b – alog c = alog b/c

 

SIfat 3

alog b + alog c = alog bc

alog b + alog b = alog b2

2alog b  = alog b2

alog b2 = 2alog b

Dengan mudah akan kita buktikan bahwa

alog bn = nalog b

 

Sifat 4

misalkan alog b = p

maka b = ap

Jika kedua ruas kita beri clog maka

clog b = clog ap

dengan menggunakan sifat 2 maka

clog b = p.clog a

Jadi

Your ads will be inserted here by

Easy Plugin for AdSense.

Please go to the plugin admin page to
Paste your ad code OR
Suppress this ad slot.

Dengan mengganti p maka

Jika kita pilih c = 10 maka basis tidak usah ditulis, sehingga

 

Sifat 5

 

Dengan bantuan sifat 3 dan 4 maka

Jadi :

 

Sifat 6

Dengan memakai sifat 4 maka

Sehingga

 

Sifat 7 :

Kita pakai sifat 4 lagi

Jadi :

 

Sifat 7 :

Jika ac = b  ………………………….(1)

maka c = alog b ……………………..(2)

Dengan mensubstitusi persamaan 2 ke persamaan (1) diperoleh

 

 

Sifat 8 :

Jika kedua ruas diberi blog maka

Pangkat pada numerus bisa turun sehingga

Dengan memakai sifat komutatif maka

Bentuk ini bisa kita ubah menjadi

Jadi :

Dengan demikian

 

Akar-akar Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c= 0 memiliki 2 akar sebagai berikut

  dan 

Jika kedua akar dijumlahkan maka diperoleh :

Jika kedua akar dikalikan maka

 

Contoh 1 :

Jika persamaan x2 – 3x – 5 = 0 mempunyai akar-akar α dan β , tentukan nilai dari

a. α2β + αβ2

b. α2 + β2

 

Jawab :

α+β = -b/a = 3

αβ = c/a = -5

a. α2β + αβ2 = αβ(α+β) = 3(-5) = -15

b. α2 + β2 = (α+β)2 – 2αβ = 32 – 2(-5) = 9 + 10 = 19

 

Contoh 2 :

Persamaan kuadrat x2 – 4x + 2 = 0 memiliki akar-akar αβ. Carilah nilai dari

a. α33

b. αββαααββ

 

Jawab :

α+β = -b/a = 4

αβ = c/a = 2

a. α33 = (α+β)3 – 3αβ(α+β) =43 – 3.2.4 = 64 – 24 = 40

b. αββαααββ = αααββαββ = αα+ββα+β = (αβ)α+β = 24 = 16

 

Contoh 3 

Persamaan kuadrat x2 – 10x + p+3 = 0 memiliki akar-akar m dan n. Jika mp+n=13 maka p = ….

Jawab :

m+n = -b/a = 10

Jadi :

 

2m + n = 13

m+ n = 10     _

m = 3

n = 7

mn = c/a

3.7 = p + 3

21 = p + 3

p = 18

 

Contoh 4

Persamaan kuadrat x2 – (t – 2)x + 4 = 0 memiliki akar-akar m dan n. Jika m2 + n2 = 28 maka nilai t sama dengan …

Jawab :

m + n = -b/a = t – 2

mn = c/a = 4

 

m2 + n2 = 28

(m + n)2  – 2mn = 28

(t – 2)2 – 2.4 = 28

t2 – 4t + 4 – 8 = 28

t2 – 4t – 32 = 0

(t – 8)(t + 4) = 0

t = 8 atau t = -4:

 

 

 

penyelesaian persamaan kuadrat

persamaan kuadrat matematika sma

rumus abc persamaan kuadrat

soal dan pembahasan persamaan kuadrat

akar akar persamaan kuadrat berpangkat tinggi

akar akar persekutuan

akar akar saling berlawanan

akar akar saling berkebalikan

akar akar negatif persamaan kuadrat

akar akar berlainan tanda

akar akar positif persamaan kuadrat

akar akar rasional persamaan kuadrat